Verifique se as afirmações abaixo são VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem verdadeiras, demonstre. Se forem falsas, dê um contra-exemplo.
Se A e B são inversíveis então A+B também é.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
“Afirmativa: se \,A\, e \,B\, são inversíveis então \,A+B\, também é inversível.”
Informações / hipóteses dadas:
  • \,A\, e \,B\, são matrizes inversíveis. (Como a inversibilidade está sendo considerada, assume-se que são matrizes quadradas da mesma ordem n\times n.)
  • Precisa-se decidir se a propriedade “inversível” se preserva ao somar duas matrizes inversíveis.

Passo 2

Vamos lembrar definições e propriedades importantes (aula rápida e prática para a prova).
Definição de inversível:
  • Uma matriz quadrada \,M\in\mathbb{R}^{n\times n} é inversível se existe uma matriz \,M^{-1}\in\mathbb{R}^{n\times n} tal que
M M^{-1} = M^{-1} M = I_n,
onde I_n é a matriz identidade n\times n.
Critério via determinante:
  • Uma matriz quadrada M é inversível se e somente se \det(M)\neq 0.
  • Propriedade útil: \det(AB)=\det(A)\det(B). Atenção: não existe uma fórmula simples que relacione \det(A+B) com \det(A) e \det(B) (ou seja, \det(A+B) não é, em geral, função direta de \det(A) e \det(B)).
Consequência prática:
  • Mesmo que \det(A)\neq0 e \det(B)\neq0, pode ocorrer que \det(A+B)=0. Portanto não se pode provar a afirmativa tentando usar apenas propriedades óbvias de determinantes; um contra-exemplo simples pode resolver a questão.

Passo 3

Construção de um contra-exemplo simples (estratégia que cai bem em prova): escolher \,B=-A\, com A inversível. Assim:
  • Verificar que A e -A são ambos inversíveis.
  • Verificar que A+(-A)=0 é a matriz zero, que não é inversível.
Escolha explícita (caso mais concreto para escrever na prova): tome \,A=I_n\, (a identidade n\times n) e \,B=-I_n.
Mostrando que \,A e \,B são inversíveis:
  • Para \,A=I_n tem-se \,A^{-1}=I_n e \det(I_n)=1\neq0.
  • Para \,B=-I_n observa-se que (-I_n)(-I_n)=I_n, logo (-I_n)^{-1}=-I_n. Em termos de determinante, \det(-I_n)=(-1)^n\det(I_n)=(-1)^n\neq0. Portanto -I_n também é inversível.
Somando:
A+B = I_n + (-I_n) = 0_{n\times n},
a matriz zero. A matriz zero tem determinante 0, então não é inversível.
Este contra-exemplo mostra que é possível ter duas matrizes inversíveis cuja soma não é inversível. É um contra-exemplo válido para toda ordem n\ge1.

Passo 4

Um contra-exemplo numérico (para quem prefere ver números 2×2 na prova):
Escolha
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
Então \det(A)=1, \det(B)=1 (ambas não nulas), mas
A+B=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
cujo determinante é 0. Logo A+B não é inversível.]

Passo 5

Conclusão didática (o que memorizar para a prova):
  • A afirmativa é falsa. Basta lembrar que a soma de matrizes não preserva necessariamente a propriedade de inversibilidade.
  • Dica prática: um contra-exemplo padrão e curto é A e -A (com A inversível). Isso resolve rápido em uma questão de prova.
  • Observação extra útil: existem condições suficientes que garantem que A+B é inversível (por exemplo, se A é inversível e \|A^{-1}B\|<1 em alguma norma subordinada, então A+B é inversível e (A+B)^{-1}=A^{-1}\sum_{k=0}^\infty (-A^{-1}B)^k), mas essas são condições adicionais — não valem de forma geral sem hipóteses extras.

Resposta

FALSA

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