Verifique se as afirmações abaixo são VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem verdadeiras, demonstre. Se forem falsas, dê um contra-exemplo.
Se
e
são inversíveis então
também é.
Se
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
“Afirmativa: se
e
são inversíveis então
também é inversível.”
Informações / hipóteses dadas:
-
e são matrizes inversíveis. (Como a inversibilidade está sendo considerada, assume-se que são matrizes quadradas da mesma ordem .) - Precisa-se decidir se a propriedade “inversível” se preserva ao somar duas matrizes inversíveis.
Passo 2
Vamos lembrar definições e propriedades importantes (aula rápida e prática para a prova).
Definição de inversível:
- Uma matriz quadrada
é inversível se existe uma matriz tal que
onde
é a matriz identidade
.
Critério via determinante:
- Uma matriz quadrada
é inversível se e somente se . - Propriedade útil:
. Atenção: não existe uma fórmula simples que relacione com e (ou seja, não é, em geral, função direta de e ).
Consequência prática:
- Mesmo que
e , pode ocorrer que . Portanto não se pode provar a afirmativa tentando usar apenas propriedades óbvias de determinantes; um contra-exemplo simples pode resolver a questão.
Passo 3
Construção de um contra-exemplo simples (estratégia que cai bem em prova): escolher
com
inversível. Assim:
- Verificar que
e são ambos inversíveis. - Verificar que
é a matriz zero, que não é inversível.
Escolha explícita (caso mais concreto para escrever na prova): tome
(a identidade
) e
.
Mostrando que
e
são inversíveis:
- Para
tem-se e . - Para
observa-se que , logo . Em termos de determinante, . Portanto também é inversível.
Somando:
a matriz zero. A matriz zero tem determinante
, então não é inversível.
Este contra-exemplo mostra que é possível ter duas matrizes inversíveis cuja soma não é inversível. É um contra-exemplo válido para toda ordem
.
Passo 4
Um contra-exemplo numérico (para quem prefere ver números 2×2 na prova):
Escolha
Escolha
Então
,
(ambas não nulas), mas
cujo determinante é
. Logo
não é inversível.]
Passo 5
Conclusão didática (o que memorizar para a prova):
- A afirmativa é falsa. Basta lembrar que a soma de matrizes não preserva necessariamente a propriedade de inversibilidade.
- Dica prática: um contra-exemplo padrão e curto é
e (com inversível). Isso resolve rápido em uma questão de prova. - Observação extra útil: existem condições suficientes que garantem que
é inversível (por exemplo, se é inversível e em alguma norma subordinada, então é inversível e ), mas essas são condições adicionais — não valem de forma geral sem hipóteses extras.
Resposta
FALSA