Verifique se as afirmações abaixo são VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem verdadeiras, demonstre. Se forem falsas, dê um contra-exemplo.
Se A é não-inversível e A B=0 então B=0

Passo 1

O que o enunciado pede: decidir se a afirmativa abaixo é VERDADEIRA ou FALSA.
“Affirmação: Se \,A é não-inversível e \,A B=0 então \,B=0.”
Informações dadas (assumidas como usuais):
  • \,A e \,B são matrizes quadradas n\times n sobre um corpo (por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}).
  • \,A é não-inversível (ou seja, singular).
  • \,A B = 0 é a matriz zero n\times n.
Pergunta a responder: a conclusão \,B=0 segue sempre dessas hipóteses?

Passo 2

Explicação da teoria necessária (de forma didática). Conceitos importantes:
  • Definição: \,A é inversível se existe uma matriz \,A^{-1} tal que \,A A^{-1}=A^{-1}A=I. Caso contrário diz-se que \,A é não-inversível ou singular.
  • Núcleo (kernel) de \,A: \displaystyle \ker(A)=\{x\in\mathbb{F}^n \mid A x = 0\}. É o conjunto de vetores que A manda em zero.
  • Teorema útil (fato básico de álgebra linear): \,A é inversível se, e somente se, \ker(A)=\{0\}. Em outras palavras, \,A é singular exatamente quando existe um vetor não-nulo v tal que \,A v = 0.
Comentário intuitivo: ser singular significa que A “esmaga” pelo menos um vetor não-nulo até o vetor zero. Esse vetor não-nulo vive no espaço nulo de A.

Passo 3

Estratégia para produzir um contra-exemplo geral (construção): se \,A é singular, existe um vetor não-nulo v com \,A v = 0 (pelo item anterior). Agora constrói-se uma matriz \,B que tenha v como uma coluna (por exemplo, a primeira coluna) e todas as demais colunas zero. Denotar essa matriz por B. Então, multiplicação de matrizes age coluna a coluna, isto é, cada coluna de AB é A vezes a coluna correspondente de B. Como cada coluna de B é ou v (primeira) ou 0 (as demais), obtemos:
AB = \begin{pmatrix} A v & A\cdot 0 & \cdots & A\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} = 0.
Logo \,A B = 0 mas \,B é não-nula porque sua primeira coluna é v\neq 0. Assim a afirmativa é falsa em geral.

Passo 4

Contra-exemplo numérico concreto (para ver com números e fazer na prova): escolher n=2. Seja
A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Essa matriz tem determinante 0, logo é não-inversível. O núcleo de A contém o vetor v=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} porque
A v = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Agora defina
B=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},
cuja primeira coluna é v e a segunda coluna é 0. Calcula-se
A B = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot 0 + 0\cdot 1 & 1\cdot 0 + 0\cdot 0 \\[4pt] 0\cdot 0 + 0\cdot 1 & 0\cdot 0 + 0\cdot 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} = 0.
Mas B\neq 0 (tem a entrada 1 na posição (2,1)). Portanto temos \,A não-inversível, \,A B=0 e \,B\neq 0.]

Passo 5

Interpretação final e caixa de intuição: a razão pela qual a afirmativa falha é que matrizes singulares têm kernel não-trivial; qualquer matriz B cujas colunas pertençam ao kernel de A satisfaz AB=0. Assim um singular A pode “anular” colunas não-nulas, fazendo AB=0 sem forçar B a ser a matriz zero. Em linguagem algébrica, existem divisores de zero à esquerda no anel das matrizes: A singular pode ter B\neq 0 com AB=0.

Resposta

FALSA

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