Verifique se as afirmações abaixo são VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem verdadeiras, demonstre. Se forem falsas, dê um contra-exemplo.
Se
é não-inversível e
então
Se
Passo 1
O que o enunciado pede: decidir se a afirmativa abaixo é VERDADEIRA ou FALSA.
“Affirmação: Se é não-inversível e
então
.”
“Affirmação: Se
Informações dadas (assumidas como usuais):
-
e são matrizes quadradas sobre um corpo (por exemplo ou ). -
é não-inversível (ou seja, singular). -
é a matriz zero .
Pergunta a responder: a conclusão
segue sempre dessas hipóteses?
Passo 2
Explicação da teoria necessária (de forma didática). Conceitos importantes:
- Definição:
é inversível se existe uma matriz tal que . Caso contrário diz-se que é não-inversível ou singular. - Núcleo (kernel) de
: . É o conjunto de vetores que manda em zero. - Teorema útil (fato básico de álgebra linear):
é inversível se, e somente se, . Em outras palavras, é singular exatamente quando existe um vetor não-nulo tal que .
Comentário intuitivo: ser singular significa que
“esmaga” pelo menos um vetor não-nulo até o vetor zero. Esse vetor não-nulo vive no espaço nulo de
.
Passo 3
Estratégia para produzir um contra-exemplo geral (construção): se
é singular, existe um vetor não-nulo
com
(pelo item anterior). Agora constrói-se uma matriz
que tenha
como uma coluna (por exemplo, a primeira coluna) e todas as demais colunas zero. Denotar essa matriz por
. Então, multiplicação de matrizes age coluna a coluna, isto é, cada coluna de
é
vezes a coluna correspondente de
. Como cada coluna de
é ou
(primeira) ou
(as demais), obtemos:
Logo
mas
é não-nula porque sua primeira coluna é
. Assim a afirmativa é falsa em geral.
Passo 4
Contra-exemplo numérico concreto (para ver com números e fazer na prova): escolher
. Seja
Essa matriz tem determinante
, logo é não-inversível. O núcleo de
contém o vetor
porque
Agora defina
cuja primeira coluna é
e a segunda coluna é
. Calcula-se
Mas
(tem a entrada
na posição
). Portanto temos
não-inversível,
e
.]
Passo 5
Interpretação final e caixa de intuição: a razão pela qual a afirmativa falha é que matrizes singulares têm kernel não-trivial; qualquer matriz
cujas colunas pertençam ao kernel de
satisfaz
. Assim um singular
pode “anular” colunas não-nulas, fazendo
sem forçar
a ser a matriz zero. Em linguagem algébrica, existem divisores de zero à esquerda no anel das matrizes:
singular pode ter
com
.
Resposta
FALSA