Verifique que a SF para a função f(x)=x^4,-pi, é dada por
x^4 sim pi^45+sumn=1^infty 8(-1)^nn^4(pi^2 n^2-6) cos (n x)
e explique porque essa série não contem termos com senos. Além disso, use essa série para obter o valor de
sumn=1^infty (-1)^n+1n^4
considerando-se que
sumn=1^infty (-1)^n+1n^2=pi^212

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x) = x^4 $ definida no intervalo $ -\pi < x < \pi $. O objetivo é verificar se a série de Fourier fornecida representa essa função, explicar por que não há termos com senos na série e, por fim, usar essa série para calcular a soma $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1){n+1}}{n{4}} $. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de séries de Fourier e como elas são construídas para funções pares e ímpares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função pode ser representada por uma série de Fourier composta por termos de cosseno e seno. No entanto, se a função for par, ou seja, $ f(-x) = f(x) $, todos os coeficientes dos termos de seno serão zero porque os senos são funções ímpares. Como $ f(x) = x^4 $ é uma função par, sabemos que sua série de Fourier terá apenas termos de cosseno.

Passo 3

Agora, vamos analisar a série de Fourier fornecida:
x^4 sim pi^45 + sumn=1^infty 8(-1)^nn^4(pi^2 n^2 - 6) cos (n x)
Para verificar se essa série realmente representa $ f(x) = x^4 $, precisamos calcular os coeficientes da série de Fourier para uma função par.

Passo 4

Para uma função par $ f(x) $, a série de Fourier é dada por:
f(x)
Onde os coeficientes $ a_n $ são calculados por:
f(x) = a02 + sumn=1^infty an cos(nx)
Vamos calcular $ a_n $ para $ f(x) = x^4 $.

Passo 5

Calculando $ a_n $:
an
Essa integral pode ser resolvida por integração por partes múltiplas ou utilizando tabelas de integrais. O resultado após o cálculo é:
an = 2pi integral0^pi x^4 cos(nx) , dx
Isso confirma que os coeficientes na série fornecida estão corretos.

Passo 6

O termo constante $ \frac{\pi^4}{5} $ corresponde a $ \frac{a_0}{2} $. Para encontrar $ a_0 $, calculamos:
pi^45
Então, $ \frac{a_0}{2} = \frac{\pi^4}{5} $, o que confirma o termo constante na série.

Passo 7

Agora, vamos explicar por que não há termos com senos na série. Como observamos no Passo 2, $ f(x) = x^4 $ é uma função par. Funções pares possuem apenas termos de cosseno em sua série de Fourier porque os senos, sendo funções ímpares, teriam coeficientes nulos quando integrados sobre um intervalo simétrico em torno de zero. Portanto, a série de Fourier de $ f(x) = x^4 $ não contém termos com senos.

Passo 8

Por fim, vamos usar a série fornecida para encontrar o valor da soma $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1){n+1}}{n{4}} $. Observando a série de Fourier:
sumn=1^infty (-1)^n+1n^4
Vamos avaliar essa expressão em $ x = 0 $, onde $ \cos(n \cdot 0) = 1 $:
x^4 sim pi^45 + sumn=1^infty 8(-1)^nn^4(pi^2 n^2 - 6) cos (n x)
Simplificando:
x = 0
Sabemos que $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1){n+1}}{n{2}} = \frac{\pi^{2}}{12} $, então $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)n}{n{2}} = -\frac{\pi^{2}}{12} $. Substituindo na equação:
cos(n cdot 0) = 1
0^4 = pi^45 + sumn=1^infty 8(-1)^nn^4 ( pi^2 n^2 - 6 )
Resolvendo para a soma:
0 = pi^45 + 8pi^2 sumn=1^infty (-1)^nn^2 - 48 sumn=1^infty (-1)^nn^4
Portanto:
sumn=1^infty (-1)^n+1n^2 = pi^212

Resposta

O valor da série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1){n+1}}{n{4}} $ é $ \frac{7\pi^{4}}{720} $.

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