Verifique que as afirmações abaixo são verdadeiras para todos z, w \in \mathbb{C} :
|z|^{2}=\operatorname{Re}(z)^{2}+\operatorname{Im}(z)^{2}

Passo 1

O enunciado pede que se verifique a validade, para todos z,w\in\mathbb{C}, da identidade
|z|^{2}=\operatorname{Re}(z)^{2}+\operatorname{Im}(z)^{2}.
Informações dadas (ou implicadas): z e w são números complexos arbitrários. A afirmação a provar envolve o módulo |z|, a parte real \operatorname{Re}(z) e a parte imaginária \operatorname{Im}(z). Não há outras hipóteses ou valores numéricos fornecidos.

Passo 2

Definições e notação que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Escrever z na forma cartesiana significa escrever
z = x + i y,
onde x e y são números reais, x=\operatorname{Re}(z) e y=\operatorname{Im}(z).
  • A conjugada complexa de z é
\overline{z} = x - i y.
  • O módulo de z é definido por
|z| = \sqrt{z\overline{z}}.
Explicação rapidinha: pensar em z como ponto (x,y) no plano; o módulo |z| é a distância da origem até esse ponto, e z\overline{z} é um produto que dá |z|^{2}, portanto não é preciso ficar com raiz quadrada no passo final.

Passo 3

Calcular explicitamente o produto z\overline{z} usando z=x+iy e \overline{z}=x-iy. Fazendo a multiplicação passo a passo:
z\overline{z} = (x+iy)(x-iy).
Distribuindo os termos:
(x+iy)(x-iy) = x\cdot x + x\cdot(-iy) + iy\cdot x + iy\cdot(-iy).
Agora simplificando cada termo:
x\cdot x = x^{2},\qquad x\cdot(-iy) = -ixy,\qquad iy\cdot x = ixy,\qquad iy\cdot(-iy)= -i^{2}y^{2}.
Note que -ixy e ixy se cancelam porque são opostos. Além disso i^{2}=-1, então -i^{2}y^{2} = -(-1)y^{2} = y^{2}. Portanto, somando tudo:
z\overline{z} = x^{2} + y^{2}.

Passo 4

Relacionar o resultado com o módulo: pela definição |z|=\sqrt{z\overline{z}} segue que
|z|^{2} = z\overline{z}.
Com o cálculo do passo anterior temos
|z|^{2} = z\overline{z} = x^{2} + y^{2}.
Lembrando que x=\operatorname{Re}(z) e y=\operatorname{Im}(z), reescreve-se como
|z|^{2} = \operatorname{Re}(z)^{2}+\operatorname{Im}(z)^{2},
que é exatamente a identidade a ser verificada.

Passo 5

Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: tome z=3+4i. Então \operatorname{Re}(z)=3 e \operatorname{Im}(z)=4. Calcula-se
|z|^{2} = 3^{2}+4^{2}=9+16=25,
e de fato |z|=\sqrt{25}=5. Isso mostra concretamente como os dois lados coincidem neste caso particular; a demonstração anterior mostra que isso vale para todo z.

Resposta

|z|^{2}=\operatorname{Re}(z)^{2}+\operatorname{Im}(z)^{2}

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