Verifique que as afirmações abaixo são verdadeiras para todos
:
Passo 1
O enunciado pede que se verifique a validade, para todos
, da identidade
Informações dadas (ou implicadas):
e
são números complexos arbitrários. A afirmação a provar envolve o módulo
, a parte real
e a parte imaginária
. Não há outras hipóteses ou valores numéricos fornecidos.
Passo 2
Definições e notação que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Escrever
na forma cartesiana significa escrever
onde
e
são números reais,
e
.
- A conjugada complexa de
é
- O módulo de
é definido por
Explicação rapidinha: pensar em
como ponto
no plano; o módulo
é a distância da origem até esse ponto, e
é um produto que dá
, portanto não é preciso ficar com raiz quadrada no passo final.
Passo 3
Calcular explicitamente o produto
usando
e
. Fazendo a multiplicação passo a passo:
Distribuindo os termos:
Agora simplificando cada termo:
Note que
e
se cancelam porque são opostos. Além disso
, então
. Portanto, somando tudo:
Passo 4
Relacionar o resultado com o módulo: pela definição
segue que
Com o cálculo do passo anterior temos
Lembrando que
e
, reescreve-se como
que é exatamente a identidade a ser verificada.
Passo 5
Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: tome
. Então
e
. Calcula-se
e de fato
. Isso mostra concretamente como os dois lados coincidem neste caso particular; a demonstração anterior mostra que isso vale para todo
.