Determine as raízes quadradas do número
.
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar todos os números complexos cujo quadrado é
, com
.
Informações dadas:
- O número a ser extraído é
. -
e são números reais (podem ser positivos, negativos ou zero).
O que devemos obter: as duas raízes quadradas (quando existirem) de
, ou seja todos os
tais que
.
Passo 2
Começamos supondo que a raiz procurada tem a forma
, com
. Escrevemos a condição
Vamos desenvolver o quadrado do lado esquerdo e igualar parte real com real e parte imaginária com imaginária:
Portanto obtemos o sistema real
Passo 3
Uma identidade útil é obter
a partir das equações acima. Observe que
Substituindo os valores que conhecemos obtemos
Como
, temos
Passo 4
Agora podemos resolver para
e
somando e subtraindo as equações
e
. Fazendo isso:
Essas expressões nos dão os quadrados de
e
. Note que
, e as frações acima são não-negativas (é fácil verificar), então as raízes quadradas reais existem.
Passo 5
Tomando raízes quadradas reais, obtemos
Mas os sinais não são independentes: eles têm de satisfazer
. Portanto o produto
deve ter o mesmo sinal de
. Para escolher os sinais de forma compacta, defina
Então as duas raízes de
são
onde
se
,
se
, e no caso
a escolha se reduz a
(se
) ou a
(se
); a fórmula acima ainda funciona se interpretarmos
com cuidado (então
).
Passo 6
Comentário sobre casos especiais para ficar tranquilo na prova:
- Se
então e a única raiz é (dupla raiz). - Se
e então as raízes são (números reais). - Se
e então as raízes são (puros imaginários). - Exemplo numérico rápido para fixar: para
temos , , e as raízes são . Conferindo: .