Determine as raízes quadradas do número a+b i, \operatorname{com} a, b \in \mathbb{R}.

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar todos os números complexos cujo quadrado é a+bi, com a,b\in\mathbb{R}.
Informações dadas:
  • O número a ser extraído é a+bi.
  • a e b são números reais (podem ser positivos, negativos ou zero).
O que devemos obter: as duas raízes quadradas (quando existirem) de a+bi, ou seja todos os z\in\mathbb{C} tais que z^2=a+bi.

Passo 2

Começamos supondo que a raiz procurada tem a forma x+iy, com x,y\in\mathbb{R}. Escrevemos a condição
(x+iy)^2 = a+ib.
Vamos desenvolver o quadrado do lado esquerdo e igualar parte real com real e parte imaginária com imaginária:
(x+iy)^2 = x^2 - y^2 + i\cdot(2xy).
Portanto obtemos o sistema real
\begin{cases} x^2 - y^2 = a,\\[4pt] 2xy = b. \end{cases}]

Passo 3

Uma identidade útil é obter x^2+y^2 a partir das equações acima. Observe que
(x^2+y^2)^2 = (x^2-y^2)^2 + (2xy)^2.
Substituindo os valores que conhecemos obtemos
(x^2+y^2)^2 = a^2 + b^2.
Como x^2+y^2\ge 0, temos
x^2+y^2 = r, \qquad\text{onde}\qquad r := \sqrt{a^2+b^2}.

Passo 4

Agora podemos resolver para x^2 e y^2 somando e subtraindo as equações x^2-y^2=a e x^2+y^2=r. Fazendo isso:
x^2 = \frac{r + a}{2}, \qquad y^2 = \frac{r - a}{2}.
Essas expressões nos dão os quadrados de x e y. Note que r\ge 0, e as frações acima são não-negativas (é fácil verificar), então as raízes quadradas reais existem.

Passo 5

Tomando raízes quadradas reais, obtemos
x = \pm\sqrt{\frac{r + a}{2}}, \qquad y = \pm\sqrt{\frac{r - a}{2}}.
Mas os sinais não são independentes: eles têm de satisfazer 2xy=b. Portanto o produto xy deve ter o mesmo sinal de b. Para escolher os sinais de forma compacta, defina
X := \sqrt{\frac{r + a}{2}}\ge 0,\qquad Y := \sqrt{\frac{r - a}{2}}\ge 0.
Então as duas raízes de a+bi são
z = \pm\bigl(X + i\,\operatorname{sgn}(b)\,Y\bigr),
onde \operatorname{sgn}(b)=1 se b>0, \operatorname{sgn}(b)=-1 se b<0, e no caso b=0 a escolha se reduz a y=0 (se a\ge 0) ou a x=0 (se a<0); a fórmula acima ainda funciona se interpretarmos \operatorname{sgn}(0)=0 com cuidado (então y=0).

Passo 6

Comentário sobre casos especiais para ficar tranquilo na prova:
  • Se a=b=0 então r=0 e a única raiz é 0 (dupla raiz).
  • Se b=0 e a\ge 0 então as raízes são \pm\sqrt{a} (números reais).
  • Se b=0 e a<0 então as raízes são \pm i\sqrt{-a} (puros imaginários).
  • Exemplo numérico rápido para fixar: para a=3,b=4 temos r=5, X=\sqrt{(5+3)/2}=2, Y=\sqrt{(5-3)/2}=1 e as raízes são \pm(2+i). Conferindo: (2+i)^2=3+4i.

Resposta

\displaystyle \pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}} \;+\; i\,\operatorname{sgn}(b)\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}\right)

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