Determine todas as raízes da equação z^{4}+a z^{2}+b=0, para a, b \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar todas as raízes da equação \,z^{4}+a z^{2}+b=0\, para a,b\in\mathbb{R}.
Informações dadas e o que devemos entregar:
  • A incógnita é z, que pode ser um número complexo.
  • Os parâmetros a e b são números reais (qualquer valor real).
  • É preciso encontrar todas as soluções (raízes) z — até quatro raízes contando multiplicidade — e expressá‑las em termos de a e b.

Passo 2

Observação sobre a forma do polinômio (apenas identificação das informações que já temos): o polinômio envolve apenas as potências pares de z ( z^{4} e z^{2}) e uma constante. Isso sugere reduzir a equação a uma equação quadrática em uma nova variável (a resolução detalhada vem a seguir).

Passo 3

Fazer a substituição que simplifica o problema. Defina a nova variável \,u=z^{2}. Note que u pode ser complexa, pois z pode ser complexa. Substituindo:
z^{4}+a z^{2}+b=0 \quad\Rightarrow\quad u^{2}+a u+b=0.
Agora resolvemos a equação quadrática em u.

Passo 4

Resolver a quadrática em u com a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para a equação \,u^{2}+a u+b=0\, o discriminante é
\Delta = a^{2}-4b.
As soluções u_{1} e u_{2} são
u_{1}=\frac{-a+\sqrt{\Delta}}{2},\qquad u_{2}=\frac{-a-\sqrt{\Delta}}{2}.
Aqui \sqrt{\Delta} é a raiz quadrada (possivelmente complexa) do número \Delta. Como a,b\in\mathbb{R}, tem-se que u_{1} e u_{2} são ou ambos reais (quando \Delta\ge0) ou são conjugados complexos (quando \Delta<0).

Passo 5

Retornar à variável z. Como u=z^{2}, cada valor u_j gera duas raízes para z, dadas pelas raízes quadradas de u_j:
z=\pm\sqrt{u_{1}},\qquad z=\pm\sqrt{u_{2}}.
Portanto, de forma geral, as quatro raízes (contando sinais) são as quatro combinações
z=\pm\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^{2}-4b}}{2}},\qquad z=\pm\sqrt{\frac{-a-\sqrt{a^{2}-4b}}{2}}.
Essa expressão é válida em todos os casos; apenas a interpretação da raiz quadrada muda se o argumento for negativo ou complexo.

Passo 6

Explicação didática sobre como obter as quatro raízes concretamente em cada caso realista (para saber o que escrever na prova):
  • Caso \Delta>0 (duas u reais e distintas):
    • Se u_j>0 então \sqrt{u_j} é o número real positivo cuja definição usual dá duas raízes reais \pm\sqrt{u_j}.
    • Se u_j=0 então \sqrt{u_j}=0 e isso contribui com raiz(s) zero (multiplicidade a conferir).
    • Se u_j<0 então \sqrt{u_j}=i\sqrt{|u_j|} e as duas raízes correspondentes são puramente imaginárias \pm i\sqrt{|u_j|}.
      Assim obtém‑se combinações com 4 reais, 2 reais + 2 imaginárias ou 4 imaginárias, dependendo dos sinais de u_1 e u_2.
  • Caso \Delta=0 (raízes u_1=u_2=-a/2 duplas):
    • A fatoração é (z^{2}-u_1)^{2}=0. Se u_1\neq0 então as raízes são z=\pm\sqrt{u_1}, cada uma com multiplicidade 2. Se u_1=0 então z=0 é raiz de multiplicidade 4.
  • Caso \Delta<0 (os u são complexos conjugados):
    • Cada u_j é um número complexo não real. Para extrair \sqrt{u_j} na prova, use a forma polar: escreva u_j=r e^{i\theta} com r=|u_j| e \theta=\arg(u_j). Então \sqrt{u_j}=\sqrt{r}\,e^{i\theta/2},e a outra raiz é o sinal oposto. Como u_2=\overline{u_1}, as raízes associadas aparecem em pares conjugados, totalizando quatro raízes complexas não reais.
    • Alternativamente, para cálculo concreto de \sqrt{x+iy} (forma cartesiana), use a fórmula: \sqrt{x+iy}=\pm\Biggl(\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x}{2}} \;+\; i\,\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-x}{2}}\Biggr),onde \operatorname{sgn}(y)=1 se y\ge0 e -1 se y<0. Essa fórmula vem de escrever \sqrt{x+iy}=p+iq, comparar as partes reais e imaginárias de (p+iq)^{2} e resolver para p e q.

Passo 7

Resumo prático para a prova (o que escrever como resposta fechada): apresente primeiro as duas soluções de u e em seguida os quatro valores de z como as raízes quadradas dessas u.

Resposta

z=\pm\sqrt{\dfrac{-a+\sqrt{a^{2}-4b}}{2}}
z=\pm\sqrt{\dfrac{-a-\sqrt{a^{2}-4b}}{2}}

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