Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
Existe uma projeção E \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right) sobre W=\operatorname{span}\{(-1,1)\} segundo U=\operatorname{span}\{(1,1)\}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe uma aplicação linear E\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 tal que \operatorname{Im}E=W e \ker E=U, onde
W=\operatorname{span}\{(-1,1)\},\quad U=\operatorname{span}\{(1,1)\}.
O conteúdo envolvido é o de projeção em espaço vetorial finito: existe projeção de \mathbb{R}^2 sobre W segundo U se, e somente se,
\mathbb{R}^2 = W\oplus U.

Passo 2

Para ver se \mathbb{R}^2 = W\oplus U basta mostrar que
  1. W\cap U=\{0\}.
  2. W+U=\mathbb{R}^2.
Como (-1,1) não é múltiplo escalar de (1,1), temos W\cap U=\{0\}. Além disso, dois vetores independentes em \mathbb{R}^2 geram todo \mathbb{R}^2, logo W+U=\mathbb{R}^2. Portanto de fato
\mathbb{R}^2 = W \oplus U.

Passo 3

Pela decomposição direta \mathbb{R}^2=W\oplus U\), existe e é única a projeção \(E\) sobre \(W\) segundo \(U\). Para ver sua fórmula, dado \(v=(x,y)\), escrevemos \[v = \alpha\,(-1,1) + \beta\,(1,1).
Resolvendo
\begin{cases} -\alpha + \beta = x,\\\ \alpha + \beta = y, \end{cases}
obtém-se \beta=(x+y)/2\] e \(\alpha=(y-x)/2. A projeção em W é então
E(v)=\alpha\,(-1,1) =\Bigl(\tfrac{x-y}{2},\,\tfrac{y-x}{2}\Bigr).

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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