Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
O operador T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right) definido por T(x, y, z)=(x-y+z, y-2 z, x-z) é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o operador linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,\quad T(x,y,z)=(x - y + z,\;y - 2z,\;x - z)
é diagonalizável. Para isso vamos: (i) escrever sua matriz em relação à base canônica; (ii) calcular o polinômio característico; (iii) extrair os autovalores e suas multiplicidades; (iv) concluir sobre diagonalizabilidade.

Passo 2

Em relação à base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, temos
T(e_1)=T(1,0,0)=(1,0,1),\quad T(e_2)=T(0,1,0)=(-1,1,0),\quad T(e_3)=T(0,0,1)=(1,-2,-1).
Logo a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & -2\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o polinômio característico \det(A - \lambda I).
\det\!\begin{pmatrix} 1-\lambda & -1 & 1\\\\ 0 & 1-\lambda & -2\\\\ 1 & 0 & -1-\lambda \end{pmatrix} = -\lambda(\lambda-2)(\lambda+1).
Portanto
\chi_T(\lambda)=\lambda(\lambda-2)(\lambda+1).

Passo 4

As raízes de \chi_T(\lambda)=0 são
\lambda_1 = 0,\quad \lambda_2 = 2,\quad \lambda_3 = -1,
três autovalores distintos, cada um de multiplicidade algébrica 1.

Passo 5

Como um operador em um espaço de dimensão 3 tem 3 autovalores distintos, existem 3 autovetores linearmente independentes. Logo T é diagonalizável.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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