Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
Se o polinômio característico de uma matriz
é dado por
, então
não é diagonalizável em
.
Se o polinômio característico de uma matriz
Passo 1
O enunciado diz que a matriz
tem polinômio característico
O conteúdo é sobre diagonalização de matrizes e vamos usar o fato de que, se o polinômio característico (ou o polinômio mínimo) se factoriza em fatores lineares distintos sobre o corpo base, então a matriz é diagonalizável.
Passo 2
Vamos fatorar o polinômio característico:
Isso mostra que os autovalores de
são
,
e
, todos distintos em
.
Passo 3
Teorema de diagonalização: se uma matriz
sobre um corpo tem
autovalores (contando multiplicidades algébricas) e esses autovalores são todos distintos, então a matriz é diagonalizável nesse corpo, pois o polinômio mínimo tem fatores lineares distintos e a soma das dimensões dos autespaços é
.
Passo 4
Como
é
e possui exatamente três autovalores distintos em
, a soma das multiplicidades geométricas é
e, portanto,
é diagonalizável sobre
. Logo, a afirmação “
não é diagonalizável em
” é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa.