Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
Se o polinômio característico de uma matriz A \in M_{3 \times 3}(\mathbb{R}) é dado por p_{A}(x)=x^{3}-x, então A não é diagonalizável em \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado diz que a matriz A\in M_{3\times3}(\mathbb{R}) tem polinômio característico
p_{A}(x)=x^{3}-x.
O conteúdo é sobre diagonalização de matrizes e vamos usar o fato de que, se o polinômio característico (ou o polinômio mínimo) se factoriza em fatores lineares distintos sobre o corpo base, então a matriz é diagonalizável.

Passo 2

Vamos fatorar o polinômio característico:
p_{A}(x)=x^{3}-x = x\,(x-1)\,(x+1).
Isso mostra que os autovalores de A são \lambda_{1}=0, \lambda_{2}=1 e \lambda_{3}=-1, todos distintos em \mathbb{R}.

Passo 3

Teorema de diagonalização: se uma matriz n\times n sobre um corpo tem n autovalores (contando multiplicidades algébricas) e esses autovalores são todos distintos, então a matriz é diagonalizável nesse corpo, pois o polinômio mínimo tem fatores lineares distintos e a soma das dimensões dos autespaços é n.

Passo 4

Como A é 3\times3 e possui exatamente três autovalores distintos em \mathbb{R}, a soma das multiplicidades geométricas é 3 e, portanto, A é diagonalizável sobre \mathbb{R}. Logo, a afirmação “ A não é diagonalizável em \mathbb{R}” é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa.

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