Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
A matriz real A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) é diagonalizável em \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz real
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
é diagonalizável sobre \mathbb{R}. O conteúdo é diagonalização de matrizes, que exige comparar multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica de cada valor próprio.

Passo 2

Como A é triangular superior, seus valores próprios são as entradas da diagonal. Logo,
\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=1.
A multiplicidade algébrica de \lambda=1 é 3.

Passo 3

Para achar a multiplicidade geométrica resolvemos
(A - I)v = 0,
ou seja
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\v_{2}\v_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem v_{3}=0, e v_{1},v_{2} são livres. Logo o espaço próprio tem dimensão 2.

Passo 4

A matriz é diagonalizável se, para cada valor próprio, a multiplicidade geométrica igualar a multiplicidade algébrica. Aqui a multiplicidade algébrica de 1 é 3, mas a geométrica é 2. Como são diferentes, A não é diagonalizável em \mathbb{R}.

Resposta

A afirmação é falsa.

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