Verifique se as transformações T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right) são diagonalizáveis. Caso afirmativo, determine uma base para \mathbb{R}^{2} composta por autovetores. T(x, y)=(x+y, x-y);
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 definida por
T(x,y) = (x+y,\;x-y).
O conteúdo aqui é diagonalização: vamos precisar representar T por uma matriz na base canônica, calcular os autovalores, encontrar os autovetores e ver se eles formam uma base de \mathbb{R}^2.
Passo 2
Vamos achar a matriz de T na base canônica \{e_1=(1,0),\,e_2=(0,1)\}.
Temos
Como \lambda_1\neq\lambda_2, já se garante que v_1 e v_2 são linearmente independentes. Portanto T é diagonalizável e \{v_1,v_2\} forma uma base de \mathbb{R}^2 de autovetores.