Verifique se as transformações T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right) são diagonalizáveis. Caso afirmativo, determine uma base para \mathbb{R}^{2} composta por autovetores.
T(x, y)=(x+y, x-y);

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 definida por
T(x,y) = (x+y,\;x-y).
O conteúdo aqui é diagonalização: vamos precisar representar T por uma matriz na base canônica, calcular os autovalores, encontrar os autovetores e ver se eles formam uma base de \mathbb{R}^2.

Passo 2

Vamos achar a matriz de T na base canônica \{e_1=(1,0),\,e_2=(0,1)\}.
Temos
T(e_1)=T(1,0)=(1+0,\;1-0)=(1,1),\quad T(e_2)=T(0,1)=(0+1,\;0-1)=(1,-1).
Logo, a matriz de T é
A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 1 & -1\end{pmatrix}.

Passo 3

Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1 \\[6pt] 1 & -1-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)(-1-\lambda) - 1 = \lambda^2 - 2.
Então
\lambda^2 - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \pm \sqrt{2}.]

Passo 4

Agora encontramos um autovetor para \lambda_1 = \sqrt{2}. Resolvemos
(A - \sqrt{2}\,I)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = 0 \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} (1-\sqrt{2})\,x + y = 0,\\\ x + (-1-\sqrt{2})\,y = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem
y = (\sqrt{2}-1)\,x,
então um autovetor correspondente é, por exemplo,
v_1 = \begin{pmatrix}1\\[3pt]\sqrt{2}-1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Para \lambda_2 = -\sqrt{2}, resolvemos
(A + \sqrt{2}\,I)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = 0 \;\Longleftrightarrow\; (1+\sqrt{2})\,x + y = 0 \;\Longrightarrow\; y = -(1+\sqrt{2})\,x,
e podemos escolher
v_2 = \begin{pmatrix}1\\[3pt]-(1+\sqrt{2})\end{pmatrix}.]

Passo 6

Como \lambda_1\neq\lambda_2, já se garante que v_1 e v_2 são linearmente independentes. Portanto T é diagonalizável e \{v_1,v_2\} forma uma base de \mathbb{R}^2 de autovetores.

Resposta

Uma base de autovetores é, por exemplo,
\left\{ \begin{pmatrix}1\\[3pt]\sqrt{2}-1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}1\\[3pt]-(1+\sqrt{2})\end{pmatrix} \right\}.]

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