(3,0) Sejam \mathcal{U}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x-y+z=0\right\} e \mathcal{W}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x+y+z=0\right\}.
a) (0,75) Escolha um desses conjuntos para mostrar que ele é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}.
b) (0,75) Determine uma base de \mathcal{U} e uma base de \mathcal{W}, indicando as respectivas dimensões.
c) (0,75) Determine \mathcal{U} \cap \mathcal{W} e calcule sua dimensão.
d) (0,75) Determine \mathcal{U}+\mathcal{W}.

Passo 1

O enunciado define dois conjuntos em \mathbb{R}^3: \mathcal{U}=\{(x,y,z)\mid x - y + z = 0\} e \mathcal{W}=\{(x,y,z)\mid x + y + z = 0\}.
Queremos:
a) mostrar que um deles (vou escolher \mathcal{U}) é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3;
b) encontrar bases e dimensões de \mathcal{U} e \mathcal{W};
c) achar \mathcal{U}\cap\mathcal{W} e sua dimensão;
d) achar \mathcal{U}+\mathcal{W}.

Passo 2

Para mostrar que \mathcal{U} é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3 precisamos checar três propriedades:
  1. O vetor zero está em \mathcal{U}. De fato, (0,0,0) satisfaz 0 - 0 + 0 = 0.
  2. Fechamento em soma: se (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) estão em \mathcal{U}, então
x_1 - y_1 + z_1 = 0 \quad\text{e}\quad x_2 - y_2 + z_2 = 0.
Somando, (x_1+x_2) - (y_1+y_2) + (z_1+z_2)=0, logo (x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)\in\mathcal{U}.
3. Fechamento em multiplicação escalar: se (x,y,z)\in\mathcal{U} e \lambda\in\mathbb{R}, então
\lambda x - \lambda y + \lambda z = \lambda(x - y + z) = \lambda \cdot 0 = 0,
logo (\lambda x,\lambda y,\lambda z)\in\mathcal{U}.
Com isso, \mathcal{U} é subespaço vetorial.

Passo 3

Para achar uma base de \mathcal{U}, escrevemos a equação
x - y + z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = y - z.
Logo todo vetor de \mathcal{U} pode ser escrito como
(x,y,z) = (y - z,\;y,\;z) = y\,(1,1,0) \;+\; z\,(-1,0,1).
Assim \{(1,1,0),\,(-1,0,1)\} gera \mathcal{U}. Esses vetores são linearmente independentes (nenhum é múltiplo do outro), logo formam uma base de \mathcal{U}. Portanto
\dim(\mathcal{U}) = 2.

Passo 4

Para \mathcal{W} fazemos a mesma ideia com
x + y + z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -y - z.
Então
(x,y,z) = (-y - z,\;y,\;z) = y\,(-1,1,0) \;+\; z\,(-1,0,1).
Uma base natural é \{\,(-1,1,0),\,(-1,0,1)\}, linearmente independentes, e assim
\dim(\mathcal{W}) = 2.

Passo 5

Para \mathcal{U}\cap\mathcal{W}\) resolvemos o sistema \[\begin{cases} x - y + z = 0,\\\ x + y + z = 0. \end{cases}
Subtraindo as equações dá -2y=0\], então \(y=0. Substituindo em uma delas, x + 0 + z=0 implica z=-x. Logo
\mathcal{U}\cap\mathcal{W} = \{(x,0,-x)\mid x\in\mathbb{R}\} = \text{span}\{(1,0,-1)\},
implicando
\dim(\mathcal{U}\cap\mathcal{W}) = 1.

Passo 6

Para \mathcal{U}+\mathcal{W} usamos a fórmula da dimensão de soma de subespaços:
\dim(\mathcal{U}+\mathcal{W}) = \dim(\mathcal{U}) + \dim(\mathcal{W}) - \dim(\mathcal{U}\cap\mathcal{W}) = 2 + 2 - 1 = 3.
Como \mathcal{U}+\mathcal{W}\subseteq\mathbb{R}^3 e tem dimensão 3, segue que \mathcal{U}+\mathcal{W} = \mathbb{R}^3.

Resposta

a) Mostramos que \mathcal{U} satisfaz as três propriedades de subespaço vetorial (zero, soma, escalar).
b) Uma base de \mathcal{U} é \{(1,1,0),\,(-1,0,1)\} com \dim(\mathcal{U})=2.
Uma base de \mathcal{W} é \{(-1,1,0),\,(-1,0,1)\} com \dim(\mathcal{W})=2.
c) \mathcal{U}\cap\mathcal{W} = \text{span}\{(1,0,-1)\}, com dimensão 1.
d) \mathcal{U}+\mathcal{W} = \mathbb{R}^3.

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