Sejam
e
.
a)
Escolha um desses conjuntos para mostrar que ele é subespaço vetorial de
.
b)
Determine uma base de
e uma base de
, indicando as respectivas dimensões.
c)
Determine
e calcule sua dimensão.
d)
Determine
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado define dois conjuntos em
:
e
.
Queremos:
a) mostrar que um deles (vou escolher ) é subespaço vetorial de
;
b) encontrar bases e dimensões de e
;
c) achar e sua dimensão;
d) achar .
Queremos:
a) mostrar que um deles (vou escolher
b) encontrar bases e dimensões de
c) achar
d) achar
Passo 2
Para mostrar que
é subespaço vetorial de
precisamos checar três propriedades:
- O vetor zero está em
. De fato, satisfaz . - Fechamento em soma: se
e estão em , então
Somando,
, logo
.
3. Fechamento em multiplicação escalar: se e
, então
3. Fechamento em multiplicação escalar: se
logo
.
Com isso, é subespaço vetorial.
Com isso,
Passo 3
Para achar uma base de
, escrevemos a equação
Logo todo vetor de
pode ser escrito como
Assim
gera
. Esses vetores são linearmente independentes (nenhum é múltiplo do outro), logo formam uma base de
. Portanto
Passo 4
Para
fazemos a mesma ideia com
Então
Uma base natural é
, linearmente independentes, e assim
Passo 5
Para
Subtraindo as equações dá
. Substituindo em uma delas,
implica
. Logo
implicando
Passo 6
Para
usamos a fórmula da dimensão de soma de subespaços:
Como
e tem dimensão
, segue que
.
Resposta
a) Mostramos que
satisfaz as três propriedades de subespaço vetorial (zero, soma, escalar).
b) Uma base de é
com
.
Uma base de é
com
.
c) , com dimensão
.
d) .
b) Uma base de
Uma base de
c)
d)