Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
A matriz real A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1\end{array}\right) não é diagonalizável em \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz real
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
é ou não diagonalizável sobre \mathbb{R}. Para isso, vamos usar o critério de diagonalização: uma matriz é diagonalizável se, para cada valor próprio, a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) coincidir com a multiplicidade algébrica (multiplicidade no polinômio característico).

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de A. Temos
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 0\\\\ 0 & 1-\lambda & 0\\\\ 1 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix}.
Como duas colunas estão zeradas, basta observar que
\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0\\\\ 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)\,(1-\lambda)^2 = (1-\lambda)^3.

Passo 3

Do polinômio característico (1-\lambda)^3=0 segue que existe um único valor próprio \lambda = 1 com multiplicidade algébrica igual a 3.

Passo 4

Agora determinamos a multiplicidade geométrica, resolvendo
(A - I)x = 0.
Como
A - I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},
o sistema é equivalente a
\begin{cases} 0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 0,\\\\ 0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 0,\\\ x = 0. \end{cases}
Logo x=0 e y,z são livres, de modo que o espaço próprio tem dimensão 2. Portanto a multiplicidade geométrica de \lambda=1 é 2.

Passo 5

Comparando multiplicidades, temos
\text{multiplicidade algébrica} = 3, \quad \text{multiplicidade geométrica} = 2.éé
Como elas não coincidem, o critério diz que A não é diagonalizável, mesmo sobre \mathbb{R}.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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