Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
Seja
um operador linear sobre
. Se
, então
tem pelo menos um auto-valor igual a zero.
Seja
Passo 1
O enunciado considera um operador linear
, onde
tem dimensão
. Sabe-se que
. Para resolver, vamos usar o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity) e a definição de autovalor.
Passo 2
Pelo Teorema do Núcleo e Imagem, para um operador em espaço de dimensão
vale
Como
, segue que
Logo
é não trivial, isto é, existem vetores (polinômios) não nulos em
.
Passo 3
Um escalar
é autovalor de
se existe
tal que
. Se
então
, ou seja,
Como há
em
, concluímos que
é autovalor de
.
Resposta
A afirmação é verdadeira.