Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
Seja T um operador linear sobre \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}). Se \operatorname{dim}(\operatorname{Im}(T))=2, então T tem pelo menos um auto-valor igual a zero.

Passo 1

O enunciado considera um operador linear T\colon \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R})\to \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}), onde \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) tem dimensão 5. Sabe-se que \dim(\mathrm{Im}\,T)=2. Para resolver, vamos usar o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity) e a definição de autovalor.

Passo 2

Pelo Teorema do Núcleo e Imagem, para um operador em espaço de dimensão 5 vale
\dim(\ker T)+\dim(\mathrm{Im}\,T)=5.
Como \dim(\mathrm{Im}\,T)=2, segue que
\dim(\ker T)=5-2=3.
Logo \ker T é não trivial, isto é, existem vetores (polinômios) não nulos em \ker T.

Passo 3

Um escalar \lambda é autovalor de T se existe v\neq0 tal que T(v)=\lambda v. Se v\in\ker T então T(v)=0, ou seja,
T(v)=0\cdot v.
Como há v\neq0 em \ker T, concluímos que 0 é autovalor de T.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

Exercícios relacionados