Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
Seja T(x, y)=(x+y, x) um operador linear em \mathbb{R}^{2}. Então existe uma base G de \mathbb{R}^{2} tal que a representação [T]_{G} de T na base G é uma matriz diagonal.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o operador linear
é diagonalizável, ou seja, se existe uma base G de \mathbb{R}^2 em que [T]_G seja uma matriz diagonal. Para isso, vamos calcular a matriz de T na base canônica, obter o polinômio característico, encontrar os autovalores e checar se são reais e distintos (condição suficiente para diagonalização em \mathbb{R}^2).
Como \lambda_1 = \tfrac{1 + \sqrt{5}}{2} e \lambda_2 = \tfrac{1 - \sqrt{5}}{2} são reais e distintos, o operador T é diagonalizável em \mathbb{R}^2. De fato, em dimensão 2, ter dois autovalores distintos garante a existência de duas direções independentes (autovetores) e logo uma base de autovetores.
Passo 5
Para cada \lambda_j\), os autovetores satisfazem
\[(A - \lambda_j I)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} (1-\lambda_j)x + y = 0,\\\ x - \lambda_j y = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem y=(\lambda_j-1)x\]. Podemos escolher
\[v_j = \begin{pmatrix}1\\[3pt]\lambda_j - 1\end{pmatrix},\]
juntando \(v_1 e v_2 formamos a base G=\{v_1,v_2\}. Nessa base,