Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
Seja T(x, y)=(x+y, x) um operador linear em \mathbb{R}^{2}. Então existe uma base G de \mathbb{R}^{2} tal que a representação [T]_{G} de T na base G é uma matriz diagonal.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o operador linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\quad T(x,y) = (x+y,\,x)
é diagonalizável, ou seja, se existe uma base G de \mathbb{R}^2 em que [T]_G seja uma matriz diagonal. Para isso, vamos calcular a matriz de T na base canônica, obter o polinômio característico, encontrar os autovalores e checar se são reais e distintos (condição suficiente para diagonalização em \mathbb{R}^2).

Passo 2

Na base canônica \{e_1=(1,0),\,e_2=(0,1)\}, temos
T(e_1) = (1,1),\quad T(e_2) = (1,0).
Logo, a matriz de T nessa base é
A = [T]_{\text{can}} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

O polinômio característico de A é
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\[6pt]1 & -\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)(-\,\lambda) - 1 = \lambda^2 - \lambda - 1.
As raízes são
\lambda_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.]

Passo 4

Como \lambda_1 = \tfrac{1 + \sqrt{5}}{2} e \lambda_2 = \tfrac{1 - \sqrt{5}}{2} são reais e distintos, o operador T é diagonalizável em \mathbb{R}^2. De fato, em dimensão 2, ter dois autovalores distintos garante a existência de duas direções independentes (autovetores) e logo uma base de autovetores.

Passo 5

Para cada \lambda_j\), os autovetores satisfazem \[(A - \lambda_j I)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} (1-\lambda_j)x + y = 0,\\\ x - \lambda_j y = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem y=(\lambda_j-1)x\]. Podemos escolher \[v_j = \begin{pmatrix}1\\[3pt]\lambda_j - 1\end{pmatrix},\] juntando \(v_1 e v_2 formamos a base G=\{v_1,v_2\}. Nessa base,
[T]_{G} = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0\\\\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}
é diagonal.]

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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