Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
Se T é um operador sobre \mathbb{R}^{3} satisfazendo T(1,1,0)=(3,3,0). Então T é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado pede para analisar se um operador linear T\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} que satisfaz
T(1,1,0)=(3,3,0)
é necessariamente diagonalizável. O conteúdo que vamos usar é a definição de operador diagonalizável (existência de base de autovetores) e o fato de que ter um autovetor não garante diagonalizabilidade se houver blocos de Jordan.
Passo 2
Vamos construir um contraexemplo. Defina três vetores de base em \mathbb{R}^{3}:
que apresenta um bloco de Jordan de tamanho 2 para o autovalor 3. Isso implica que a multiplicidade algébrica de 3 é 2, mas a multiplicidade geométrica é 1, logo Tnão é diagonalizável.