Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
A transformação T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right) definida por T(x, y, z)=(y, x, z) é uma projeção.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,\quad T(x,y,z) = (y,x,z)
e pergunta se T é uma projeção. Por definição, uma projeção é uma transformação linear P que satisfaz a propriedade de idempotência
P^2 = P.
Ou seja, projetar duas vezes é o mesmo que projetar uma vez.

Passo 2

Vamos calcular T^2. Para (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,
T^2(x,y,z) \;=\; T\bigl(T(x,y,z)\bigr) \;=\; T(y,x,z) \;=\; (x,y,z).
Isso mostra que
T^2 = \mathrm{Id},
onde \mathrm{Id} é a transformação identidade.

Passo 3

Como T^2 = \mathrm{Id}, claramente T^2 \neq T (pois T não é a identidade — ele troca as duas primeiras coordenadas). Logo, T não satisfaz a condição de idempotência T^2 = T exigida para que seja projeção.

Resposta

A afirmação é falsa.

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