Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
Se T é um operador sobre \mathbb{R}^{3} satisfazendo T(1,1,0)=(3,3,0). Então T é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado pede para analisar se um operador linear T\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} que satisfaz
T(1,1,0)=(3,3,0)
é necessariamente diagonalizável. O conteúdo que vamos usar é a definição de operador diagonalizável (existência de base de autovetores) e o fato de que ter um autovetor não garante diagonalizabilidade se houver blocos de Jordan.

Passo 2

Vamos construir um contraexemplo. Defina três vetores de base em \mathbb{R}^{3}:
\mathbf v_{1}=(1,1,0),\quad \mathbf v_{2}=(1,-1,0),\quad \mathbf v_{3}=(0,0,1).
Em relação a essa base, definimos T por
T(\mathbf v_{1})=3\,\mathbf v_{1},\quad T(\mathbf v_{2})=3\,\mathbf v_{2}+\mathbf v_{1},\quad T(\mathbf v_{3})=0\cdot\mathbf v_{3}.

Passo 3

Verificamos que
T(1,1,0)=T(\mathbf v_{1})=3\,\mathbf v_{1}=(3,3,0),
logo a condição do enunciado está satisfeita. A matriz de T nessa base é
[T]_{B}=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\\\ 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
que apresenta um bloco de Jordan de tamanho 2 para o autovalor 3. Isso implica que a multiplicidade algébrica de 3 é 2, mas a multiplicidade geométrica é 1, logo T não é diagonalizável.

Resposta

Falsa.

Exercícios relacionados