Sejam V1 =(4,2,-3), V2 =(2,1,-2) e V3 =(-2,-1,0).
(a) Mostre que V1, V2 e V3 são L.D.
(b) Mostre que V1 e V2 são L.I.
(c) Qual a dimensão do subespaço gerado por V1, V2 e V3, ou seja, do conjunto das combinações lineares de V1,V2 e V3.
(d) Descreva geometricamente o subespaço gerado por V1, V2 e V3
Passo 1
O enunciado nos dá os vetores \mathbf V_1=(4,2,-3), \mathbf V_2=(2,1,-2) e \mathbf V_3=(-2,-1,0) em \mathbb R^3. Precisamos:
– (a) mostrar que \mathbf V_1,\mathbf V_2,\mathbf V_3 são linearmente dependentes;
– (b) mostrar que \mathbf V_1,\mathbf V_2 são linearmente independentes;
– (c) achar a dimensão de \mathrm{span}\{\mathbf V_1,\mathbf V_2,\mathbf V_3\};
– (d) descrever geometricamente esse subespaço.
Passo 2
(a) Para ver que \mathbf V_1,\mathbf V_2,\mathbf V_3\) são LD, buscamos \(c_1,c_2,c_3\), nem todos zero, com
\[c_1\mathbf V_1+c_2\mathbf V_2+c_3\mathbf V_3=\mathbf0.
Da segunda equação b=-2a\]. Substituindo em qualquer outra vem \(a=0 e então b=0. Como só há solução trivial, \mathbf V_1 e \mathbf V_2 são linearmente independentes.
Passo 4
(c) O conjunto \{\mathbf V_1,\mathbf V_2,\mathbf V_3\} tem exatamente 2 vetores LI \mathbf V_1,\mathbf V_2 e o terceiro é combinação deles. Logo
(a) \mathbf V_1,\mathbf V_2,\mathbf V_3 são LD pois 2\mathbf V_1-3\mathbf V_2+\mathbf V_3=\mathbf0.
(b) \mathbf V_1,\mathbf V_2 são LI.
(c) \dim\bigl(\mathrm{span}\{\mathbf V_1,\mathbf V_2,\mathbf V_3\}\bigr)=2.
(d) É um plano através da origem em \mathbb R^3, dado por x-2y=0, gerado por \mathbf V_1 e \mathbf V_2.