Sejam V1 =(4,2,-3), V2 =(2,1,-2) e V3 =(-2,-1,0).
(a) Mostre que V1, V2 e V3 são L.D.
(b) Mostre que V1 e V2 são L.I.
(c) Qual a dimensão do subespaço gerado por V1, V2 e V3, ou seja, do conjunto das combinações lineares de V1,V2 e V3.
(d) Descreva geometricamente o subespaço gerado por V1, V2 e V3

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores \mathbf V_1=(4,2,-3), \mathbf V_2=(2,1,-2) e \mathbf V_3=(-2,-1,0) em \mathbb R^3. Precisamos:
– (a) mostrar que \mathbf V_1,\mathbf V_2,\mathbf V_3 são linearmente dependentes;
– (b) mostrar que \mathbf V_1,\mathbf V_2 são linearmente independentes;
– (c) achar a dimensão de \mathrm{span}\{\mathbf V_1,\mathbf V_2,\mathbf V_3\};
– (d) descrever geometricamente esse subespaço.

Passo 2

(a) Para ver que \mathbf V_1,\mathbf V_2,\mathbf V_3\) são LD, buscamos \(c_1,c_2,c_3\), nem todos zero, com \[c_1\mathbf V_1+c_2\mathbf V_2+c_3\mathbf V_3=\mathbf0.
Isso dá o sistema
\begin{cases} 4c_1+2c_2-2c_3=0,\\\\ 2c_1+c_2-c_3=0,\\\\ -3c_1-2c_2=0. \end{cases}
Da terceira equação vem c_2=-\tfrac32c_1\]. Substituindo na segunda achamos \(c_3=\tfrac12c_1. Tomando c_1=2, obtemos
2\mathbf V_1-3\mathbf V_2+\mathbf V_3=\mathbf0
com coeficientes não todos nulos, logo são dependentes lineares.

Passo 3

(b) Para \mathbf V_1,\mathbf V_2\) ver se são LI, consideramos \[a\mathbf V_1+b\mathbf V_2=\mathbf0
que gera
\begin{cases} 4a+2b=0,\\\\ 2a+b=0,\\\\ -3a-2b=0. \end{cases}
Da segunda equação b=-2a\]. Substituindo em qualquer outra vem \(a=0 e então b=0. Como só há solução trivial, \mathbf V_1 e \mathbf V_2 são linearmente independentes.

Passo 4

(c) O conjunto \{\mathbf V_1,\mathbf V_2,\mathbf V_3\} tem exatamente 2 vetores LI \mathbf V_1,\mathbf V_2 e o terceiro é combinação deles. Logo
\dim\bigl(\mathrm{span}\{\mathbf V_1,\mathbf V_2,\mathbf V_3\}\bigr)=2.

Passo 5

(d) Um subespaço de dimensão 2 em \mathbb R^3 é um plano que passa pela origem. Esse plano é gerado por \mathbf V_1 e \mathbf V_2. Um normal é
\mathbf n=\mathbf V_1\times\mathbf V_2 =(4,2,-3)\times(2,1,-2)=(-1,2,0),
logo sua equação é
-1\,x+2\,y+0\,z=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x-2y=0.

Resposta

(a) \mathbf V_1,\mathbf V_2,\mathbf V_3 são LD pois 2\mathbf V_1-3\mathbf V_2+\mathbf V_3=\mathbf0.
(b) \mathbf V_1,\mathbf V_2 são LI.
(c) \dim\bigl(\mathrm{span}\{\mathbf V_1,\mathbf V_2,\mathbf V_3\}\bigr)=2.
(d) É um plano através da origem em \mathbb R^3, dado por x-2y=0, gerado por \mathbf V_1 e \mathbf V_2.

Exercícios relacionados