Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
O operador
com
é diagonalizável.
O operador
Passo 1
O enunciado dá um operador
satisfazendo
e pede para saber se
é diagonalizável.
Passo 2
Reescrevemos a relação
como
ou seja,
anula o polinômio
Passo 3
O polinômio mínimo
divide
. Logo as únicas raízes possíveis de
são
e
, e cada fator aparece apenas uma vez em
.
Passo 4
Como
se fatoriza em fatores lineares distintos sobre
, pelo critério de diagonalizabilidade (um operador em dimensão finita é diagonalizável se e somente se seu polinômio mínimo se separa em raízes simples), concluímos que
é diagonalizável.
Resposta
Verdadeira.