Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
O operador T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right) com T^{2}=-T é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado dá um operador T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 satisfazendo
T^2 = -T,
e pede para saber se T é diagonalizável.

Passo 2

Reescrevemos a relação T^2=-T como
T^2 + T = 0,
ou seja, T anula o polinômio
p(x) = x^2 + x = x(x+1).

Passo 3

O polinômio mínimo m_T(x) divide p(x)=x(x+1). Logo as únicas raízes possíveis de m_T são 0 e -1, e cada fator aparece apenas uma vez em p(x).

Passo 4

Como m_T(x) se fatoriza em fatores lineares distintos sobre \mathbb{R}, pelo critério de diagonalizabilidade (um operador em dimensão finita é diagonalizável se e somente se seu polinômio mínimo se separa em raízes simples), concluímos que T é diagonalizável.

Resposta

Verdadeira.

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