Verifique se as afirmações seguintes são verdadeiras ou falsas, justificando.
( ) (5 pontos) Se A e B são matrizes inversíveis de mesma ordem então A^{T} B^{-1} também é inversível.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma verificação:
  • Dado que A e B são matrizes inversíveis da mesma ordem.
  • Pergunta-se se a matriz A^{T} B^{-1} também é inversível.
O que precisa ser respondido: determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar rigorosamente a resposta.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “matriz inversível” e algumas propriedades básicas que vamos usar.
  • Definição: uma matriz quadrada M é inversível se existe outra matriz N tal que
M N = N M = I,
onde I é a matriz identidade da mesma ordem. Nesse caso escrevemos N=M^{-1}.
  • Propriedade do produto: se X e Y são matrizes quadradas inversíveis da mesma ordem, então o produto XY é inversível e
(XY)^{-1}=Y^{-1}X^{-1}.
Vou usar e — quando necessário — demonstrar essa propriedade de forma direta mostrando um candidato a inversa e verificando.
  • Propriedade do transposto: para quaisquer matrizes compatíveis vale
(XY)^{T}=Y^{T}X^{T}.
Em particular, se A é inversível então A^{T} também é inversível e
(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}.
Uma justificativa rápida: multiplica-se A^{T} por (A^{-1})^{T} e usa-se (XY)^{T}=Y^{T}X^{T}:
A^{T}(A^{-1})^{T}=(A^{-1}A)^{T}=I^{T}=I,
e similarmente para a multiplicação na outra ordem.

Passo 3

Aplicando as propriedades acima ao nosso caso:
  • Como A é inversível, pela propriedade do transposto temos que A^{T} é inversível e
(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}.
  • Como B é inversível, então B^{-1} também é inversível (obvio) e (B^{-1})^{-1}=B.
Portanto A^{T} e B^{-1} são duas matrizes inversíveis da mesma ordem.

Passo 4

Produto de inversíveis é inversível. Podemos exibir explicitamente a inversa candidata de A^{T}B^{-1} usando a fórmula do inverso de um produto.
Tomando X=A^{T} e Y=B^{-1}, a inversa de XY é
(XY)^{-1}=Y^{-1}X^{-1}.
Assim um candidato para (A^{T}B^{-1})^{-1} é
B\,(A^{-1})^{T}.

Passo 5

Verificação direta (mostrar que o candidato é realmente a inversa, multiplicando e obtendo I).
Calcule o produto pela esquerda:
(A^{T}B^{-1})\bigl(B\,(A^{-1})^{T}\bigr) = A^{T}\bigl(B^{-1}B\bigr)(A^{-1})^{T} = A^{T} I (A^{-1})^{T} = A^{T}(A^{-1})^{T}.
Usando (XY)^{T}=Y^{T}X^{T} com X=A^{-1} e Y=A (ou reconhecendo a propriedade do transposto da inversa) obtemos
A^{T}(A^{-1})^{T}=(A^{-1}A)^{T}=I^{T}=I.
Agora o produto pela direita:
\bigl(B\,(A^{-1})^{T}\bigr)(A^{T}B^{-1}) = B\bigl((A^{-1})^{T}A^{T}\bigr)B^{-1} = B\bigl((A A^{-1})^{T}\bigr)B^{-1} = B I^{T} B^{-1} = B B^{-1}=I.
Como o candidato B(A^{-1})^{T} é tanto inverso à esquerda quanto inverso à direita de A^{T}B^{-1}, concluímos que é a inversa legítima. Logo A^{T}B^{-1} é inversível.

Passo 6

Resumo didático e motivador: a ideia central é que operações “boas” (transpor, inverter, multiplicar) preservam inversibilidade quando aplicadas a matrizes já inversíveis. Usamos duas facts fáceis: o transposto de uma matriz inversível é inversível e o produto de matrizes inversíveis é inversível. Assim A^{T} e B^{-1} são inversíveis e seu produto A^{T}B^{-1} também é; uma inversa explícita é B(A^{-1})^{T}. Vai dar certo na prova: se você vir um produto de matrizes que você sabe que são inversíveis, já sabe que o produto é inversível e pode escrever a inversa trocando a ordem e invertendo cada fator.

Resposta

Verdadeiro

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