Verifique se as afirmações seguintes são verdadeiras ou falsas, justificando.
( ) (5 pontos) Se
e
são matrizes inversíveis de mesma ordem então
também é inversível.
( ) (5 pontos) Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma verificação:
- Dado que
e são matrizes inversíveis da mesma ordem. - Pergunta-se se a matriz
também é inversível.
O que precisa ser respondido: determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar rigorosamente a resposta.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa “matriz inversível” e algumas propriedades básicas que vamos usar.
- Definição: uma matriz quadrada
é inversível se existe outra matriz tal que
onde
é a matriz identidade da mesma ordem. Nesse caso escrevemos
.
- Propriedade do produto: se
e são matrizes quadradas inversíveis da mesma ordem, então o produto é inversível e
Vou usar e — quando necessário — demonstrar essa propriedade de forma direta mostrando um candidato a inversa e verificando.
- Propriedade do transposto: para quaisquer matrizes compatíveis vale
Em particular, se
é inversível então
também é inversível e
Uma justificativa rápida: multiplica-se
por
e usa-se
:
e similarmente para a multiplicação na outra ordem.
Passo 3
Aplicando as propriedades acima ao nosso caso:
- Como
é inversível, pela propriedade do transposto temos que é inversível e
- Como
é inversível, então também é inversível (obvio) e .
Portanto
e
são duas matrizes inversíveis da mesma ordem.
Passo 4
Produto de inversíveis é inversível. Podemos exibir explicitamente a inversa candidata de
usando a fórmula do inverso de um produto.
Tomando
e
, a inversa de
é
Assim um candidato para
é
Passo 5
Verificação direta (mostrar que o candidato é realmente a inversa, multiplicando e obtendo
).
Calcule o produto pela esquerda:
Usando
com
e
(ou reconhecendo a propriedade do transposto da inversa) obtemos
Agora o produto pela direita:
Como o candidato
é tanto inverso à esquerda quanto inverso à direita de
, concluímos que é a inversa legítima. Logo
é inversível.
Passo 6
Resumo didático e motivador: a ideia central é que operações “boas” (transpor, inverter, multiplicar) preservam inversibilidade quando aplicadas a matrizes já inversíveis. Usamos duas facts fáceis: o transposto de uma matriz inversível é inversível e o produto de matrizes inversíveis é inversível. Assim
e
são inversíveis e seu produto
também é; uma inversa explícita é
. Vai dar certo na prova: se você vir um produto de matrizes que você sabe que são inversíveis, já sabe que o produto é inversível e pode escrever a inversa trocando a ordem e invertendo cada fator.
Resposta
Verdadeiro