Seja A a matriz dada por
A=\left[\begin{array}{rrrrr} 0 & 0 & 4 & -1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 2 \\\\ 2 & 2 & 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right]
a) ( 15 pontos) Use o método da expansão de Laplace para calcular o determinante de A.
b) ( 5 pontos) Calcule o determinante de B=-A^{3}\left(A^{-1}\right)^{T}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Calcular o determinante da matriz A dada por
A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 & -1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 2 \\\\ 2 & 2 & 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
  • (b) Calcular o determinante de B=-A^{3}\left(A^{-1}\right)^{T}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz A é uma matriz quadrada de ordem 5 (ou seja, n=5).
  • O enunciado pede explicitamente que, em (a), se use o método da expansão de Laplace (expansão por cofatores).
  • Para (b) podemos usar propriedades de determinantes (produto, potência, transposição e inversa) em vez de calcular B explicitamente.

Passo 2

Breve lembrete didático sobre expansão de Laplace (já que vamos usar passo a passo):
  • Para uma matriz n\times n, o menor M_{ij} é a matriz (n-1)\times(n-1) obtida ao eliminar a linha i e a coluna j.
  • O cofator C_{ij} é definido por C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}).
  • A expansão de Laplace pela coluna j é
\det(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij}=\sum_{i=1}^{n} a_{ij}(-1)^{i+j}\det(M_{ij}).
Dica prática: escolher uma linha ou coluna com muitos zeros simplifica muito o cálculo. Na matriz A, a primeira coluna tem muitos zeros:
\text{coluna 1 de }A = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix},
portanto vale a pena expandir pela coluna 1.

Passo 3

Expandindo \det(A) pela coluna 1:
  • Apenas o elemento não-nulo é a_{41}=2 (na linha 4, coluna 1).
  • Assim
\det(A)=a_{41}(-1)^{4+1}\det(M_{41})=2\cdot(-1)^{5}\det(M_{41})=-2\det(M_{41}),
onde M_{41} é a matriz obtida de A eliminando a linha 4 e a coluna 1. Escrevendo M_{41} explicitamente (mantendo as colunas 2 a 5 e as linhas 1,2,3,5 de A):
M_{41}=\begin{pmatrix} 0 & 4 & -1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 2 & 0 \\\\ 1 & 0 & 5 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para calcular \det(M_{41}) de novo usamos Laplace: observe a primeira coluna de M_{41},
\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},
que tem apenas um elemento não-nulo: 1 na terceira linha (da matriz M_{41}). Expandindo por essa coluna:
\det(M_{41}) = a_{31}^{(M)}(-1)^{3+1}\det(N) = 1\cdot(-1)^{4}\det(N)=\det(N),
onde N é o menor 3\times3 obtido de M_{41} removendo a linha 3 e a coluna 1. Escrevendo N (linhas correspondentes a originais 1,2,5 e colunas correspondentes a originais 3,4,5):
N=\begin{pmatrix} 4 & -1 & 2 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Agora calculamos \det(N). A matriz N tem zeros na primeira coluna nas linhas 2 e 3, então é conveniente expandir pela primeira coluna ou usar a regra de Sarrus (mas aqui a expansão é direta). Expandindo pela primeira coluna:
\det(N)=4\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 0 \\\\ 1 & -1\end{pmatrix} -0\cdot(\cdots) + 0\cdot(\cdots).
Calculando o determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}2 & 0 \\\\ 1 & -1\end{pmatrix} = 2\cdot(-1)-0\cdot1 = -2.
Portanto
\det(N)=4\cdot(-2)=-8.

Passo 6

Voltando: \det(M_{41})=\det(N)=-8. Então
\det(A) = -2\det(M_{41}) = -2\cdot(-8)=16.
Comentário amistoso: ufa! deu um número inteiro bonitinho \det(A)=16. Boa escolha expandir pela coluna com muitos zeros.

Passo 7

Agora a parte (b). Queremos \det(B) com B=-A^{3}\left(A^{-1}\right)^{T}. Usamos propriedades dos determinantes (todas fáceis e importantes de decorar):
  • \det(XY)=\det(X)\det(Y) para matrizes quadradas conformes.
  • \det(X^{T})=\det(X).
  • \det(X^{-1})=\dfrac{1}{\det(X)} se X é invertível.
  • Para escalar \lambda e matriz n\times n: \det(\lambda X)=\lambda^{n}\det(X). Em particular, \det(-X)=(-1)^{n}\det(X).
Aplicando essas propriedades passo a passo com n=5:
\det(B)=\det\big(-A^{3}(A^{-1})^{T}\big)=\det(-A^{3})\det\big((A^{-1})^{T}\big).
Usando \det(-A^{3})=(-1)^{5}\det(A^{3})=-\det(A^{3}) e \det\big((A^{-1})^{T}\big)=\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}, e \det(A^{3})=\det(A)^{3}, obtemos
\det(B) = -\det(A)^{3}\cdot\frac{1}{\det(A)} = -\det(A)^{2}.
Como da parte (a) \det(A)=16, então
\det(B) = -16^{2} = -256.

Resposta

\det(A)=16
\det(B)=-256

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