a) ( 15 pontos) Use o método da expansão de Laplace para calcular o determinante de A.
b) ( 5 pontos) Calcule o determinante de B=-A^{3}\left(A^{-1}\right)^{T}.
onde M_{41} é a matriz obtida de A eliminando a linha 4 e a coluna 1. Escrevendo M_{41} explicitamente (mantendo as colunas 2 a 5 e as linhas 1,2,3,5 de A):
onde N é o menor 3\times3 obtido de M_{41} removendo a linha 3 e a coluna 1. Escrevendo N (linhas correspondentes a originais 1,2,5 e colunas correspondentes a originais 3,4,5):
Agora calculamos \det(N). A matriz N tem zeros na primeira coluna nas linhas 2 e 3, então é conveniente expandir pela primeira coluna ou usar a regra de Sarrus (mas aqui a expansão é direta). Expandindo pela primeira coluna:
Comentário amistoso: ufa! deu um número inteiro bonitinho \det(A)=16. Boa escolha expandir pela coluna com muitos zeros.
Passo 7
Agora a parte (b). Queremos \det(B) com B=-A^{3}\left(A^{-1}\right)^{T}. Usamos propriedades dos determinantes (todas fáceis e importantes de decorar):
\det(XY)=\det(X)\det(Y) para matrizes quadradas conformes.
\det(X^{T})=\det(X).
\det(X^{-1})=\dfrac{1}{\det(X)} se X é invertível.
Para escalar \lambda e matriz n\times n: \det(\lambda X)=\lambda^{n}\det(X). Em particular, \det(-X)=(-1)^{n}\det(X).
Aplicando essas propriedades passo a passo com n=5: