Verifique se as afirmações seguintes são verdadeiras ou falsas, justificando.
( ) (5 pontos) Se uma matriz quadrada A satisfizer a igualdade A^{2}+4 A+I=0 então A^{-1}=-4 I-A.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada A que satisfaz a igualdade
A^{2}+4A+I=0.
A pergunta é: a afirmação "se A^{2}+4A+I=0 então A^{-1}=-4I-A" é verdadeira ou falsa?
Informações relevantes dadas:
  • A é quadrada (mesma número de linhas e colunas).
  • A igualdade matricial \;A^{2}+4A+I=0\; vale para essa matriz.

Passo 2

Reescrevendo a igualdade dada e fatorando, temos
A^{2}+4A+I=0 \quad\Longrightarrow\quad A^{2}+4A=-I.
Como A^{2}+4A=A(A+4I), essa igualdade fica
A(A+4I)=-I.

Passo 3

A partir de A(A+4I)=-I vamos mostrar que A é inversível (ou seja, que existe A^{-1}). Use a propriedade do determinante: para matrizes quadradas X e Y vale \det(XY)=\det(X)\det(Y). Tomando determinantes em ambos os lados,
\det\bigl(A(A+4I)\bigr)=\det(-I).
Isso dá
\det(A)\det(A+4I)=\det(-I).
Como \det(-I)=(-1)^n (onde n é a ordem da matriz) é diferente de zero, o produto \det(A)\det(A+4I) é não nulo. Logo \det(A)\neq0. Portanto A é inversível (matriz quadrada com determinante não nulo é invertível).
(Observação curta: outra forma de ver invertibilidade é notar que o produto A(A+4I) é igual a -I, que é inversível; o produto de duas matrizes que resulta numa matriz inversível só ocorre se as duas forem invertíveis. A justificativa via determinante é a mais direta.)

Passo 4

Como A é invertível, podemos multiplicar a igualdade matricial A(A+4I)=-I à esquerda por A^{-1}. Fazendo isso obtemos:
A^{-1}A(A+4I)=A^{-1}(-I).
O lado esquerdo simplifica porque A^{-1}A=I, então
A+4I=-A^{-1}.
Rearranjando os termos (lembrando que a adição de matrizes é comutativa), obtemos
A^{-1}=-A-4I.
Note que isso é exatamente a afirmação do enunciado escrita de outra forma, pois -A-4I=-4I-A.

Passo 5

Resumo do raciocínio prático que se usa numa prova: partir de A^{2}+4A+I=0 fatorar em A(A+4I)=-I, concluir que A é invertível (determinante não nulo), multiplicar à esquerda por A^{-1} e isolar A^{-1} para encontrar A^{-1}=-A-4I, que coincide com -4I-A.

Resposta

Verdadeira.

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