Verifique se as afirmações seguintes são verdadeiras ou falsas, justificando.
( ) (5 pontos) Se uma matriz quadrada
satisfizer a igualdade
então
.
( ) (5 pontos) Se uma matriz quadrada
Passo 1
O enunciado dá uma matriz quadrada
que satisfaz a igualdade
A pergunta é: a afirmação "se
então
" é verdadeira ou falsa?
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
-
é quadrada (mesma número de linhas e colunas). - A igualdade matricial
vale para essa matriz.
Passo 2
Reescrevendo a igualdade dada e fatorando, temos
Como
, essa igualdade fica
Passo 3
A partir de
vamos mostrar que
é inversível (ou seja, que existe
). Use a propriedade do determinante: para matrizes quadradas
e
vale
. Tomando determinantes em ambos os lados,
Isso dá
Como
(onde
é a ordem da matriz) é diferente de zero, o produto
é não nulo. Logo
. Portanto
é inversível (matriz quadrada com determinante não nulo é invertível).
(Observação curta: outra forma de ver invertibilidade é notar que o produto
é igual a
, que é inversível; o produto de duas matrizes que resulta numa matriz inversível só ocorre se as duas forem invertíveis. A justificativa via determinante é a mais direta.)
Passo 4
Como
é invertível, podemos multiplicar a igualdade matricial
à esquerda por
. Fazendo isso obtemos:
O lado esquerdo simplifica porque
, então
Rearranjando os termos (lembrando que a adição de matrizes é comutativa), obtemos
Note que isso é exatamente a afirmação do enunciado escrita de outra forma, pois
.
Passo 5
Resumo do raciocínio prático que se usa numa prova: partir de
fatorar em
, concluir que
é invertível (determinante não nulo), multiplicar à esquerda por
e isolar
para encontrar
, que coincide com
.
Resposta
Verdadeira.