Verifique se as afirmativas abaixo são falsas ou verdadeiras, em caso de falso, justifique sua resposta.
Existe uma transformação linear T: R^4 R^3 que é injetora

Passo 1

Então, a gente tem uma afirmação que diz: “Existe uma transformação linear que é injetora.” Nosso objetivo aqui é descobrir se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Vamos usar conceitos de transformações lineares e injetividade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. É basicamente uma função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. Ou seja, para todo vetor T(u + v) = T(u) + T(v) e T(cu) = cT(u) e escalar , temos:

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o que significa ser injetora. Uma transformação é injetora se cada elemento no espaço de chegada ( ) é imagem de no máximo um elemento no espaço de partida ( ). Em outras palavras, se então .

Passo 4

Para verificar se uma transformação linear é injetora, usamos o teorema do posto e do núcleo. Diz ele que:
dim(domínio) = número de pivôs (posto) + dim(núc<=o) íúôú
No nosso caso, a dimensão do domínio é 4. Se a transformação for injetora, o núcleo deve ter dimensão zero (não há vetores diferentes de zero que são mapeados para zero).

Passo 5

Porém, a transformação está indo para 4 = 3 + dim(núc<=o) implies dim(núc<=o) = 1 . O número máximo de pivôs (posto) que podemos ter é 3, porque o espaço de chegada tem dimensão 3. Então, pelo teorema:
úú
Isso significa que sempre vai ter pelo menos um vetor diferente de zero no núcleo, ou seja, a transformação não pode ser injetora.

Resposta

A afirmativa é falsa. Não existe uma transformação linear que seja injetora porque o núcleo da transformação sempre terá dimensão pelo menos 1, impedindo a injetividade.

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