Encontre todos os escalares k tais que |k v|=4, onde v=(-1,2,5).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar todos os valores de que satisfazem a equação , onde o vetor é igual a . Aqui estamos lidando com escalar e norma de vetores, então vamos precisar entender como a multiplicação por um escalar afeta a norma de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor |v| = raizv1^2 + v2^2 + v3^2 é calculada usando a fórmula:
|v| = raiz(-1)^2 + 2^2 + 5^2 = raiz1 + 4 + 25 = raiz30
Vamos calcular a norma do vetor :

Passo 3

Agora, queremos encontrar o valor de |k v| = |k| cdot |v| tal que a norma de |k| cdot raiz30 = 4 seja igual a 4. Sabemos que multiplicar um vetor por um escalar |k| = 4raiz30 também multiplica a sua norma por k = 4raiz30 ou k = -4raiz30 :
Substituindo os valores que já temos:
Para encontrar , dividimos ambos os lados por :
Isso significa que pode ser tanto positivo quanto negativo:

Resposta

Os valores de k = 4raiz30 e k = -4raiz30 que satisfazem a equação são:

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