Verifique se as aplicações abaixo são ou não transformações lineares:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, T(x, y, z)=(\cos x, \sin y, z, 0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{4},\quad T(x,y,z)=(\cos x,\;\sin y,\;z,\;0)
é uma transformação linear. O conteúdo aqui é transformações lineares, que devem satisfazer aditividade e homogeneidade:
T(u+v)=T(u)+T(v),\quad T(c\,u)=c\,T(u).

Passo 2

Aplicamos o teste do vetor zero: toda transformação linear deve enviar o vetor zero em \mathbb{R}^{3} para o vetor zero em \mathbb{R}^{4}. Calculamos
T(0,0,0)=(\cos 0,\;\sin 0,\;0,\;0)=(1,0,0,0),
que não é o vetor nulo (0,0,0,0). Logo, falha o teste do zero e não pode ser linear.

Passo 3

Para reforçar, verificamos a aditividade. Tomando (x,y,z) e (x',y',z') em \mathbb{R}^{3},
T((x,y,z)+(x',y',z')) =(\cos(x+x'),\;\sin(y+y'),\;z+z',\;0),
enquanto
T(x,y,z)+T(x',y',z') =(\cos x+\cos x',\;\sin y+\sin y',\;z+z',\;0).
Como em geral \cos(x+x')\neq\cos x+\cos x', a aditividade falha também.

Resposta

A aplicação T não é transformação linear.

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