Verifique se as aplicações abaixo são ou não transformações lineares:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, T(x, y, z)=(x+y+z, x+y, x, 0)

Passo 1

O enunciado define T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4 por
T(x,y,z) = (x+y+z,\;x+y,\;x,\;0),
e pede para verificar se T é linear, isto é, se satisfaz aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Para verificar aditividade, seja u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2). Então
u+v = (x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2),
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T(u+v) = (x_1+x_2 + y_1+y_2 + z_1+z_2,\;x_1+x_2 + y_1+y_2,\;x_1+x_2,\;0).
Por outro lado,
T(u)+T(v) = (x_1+y_1+z_1,\;x_1+y_1,\;x_1,\;0) + (x_2+y_2+z_2,\;x_2+y_2,\;x_2,\;0)
= (x_1+x_2 + y_1+y_2 + z_1+z_2,\;x_1+x_2 + y_1+y_2,\;x_1+x_2,\;0).
Portanto T(u+v) = T(u) + T(v).

Passo 3

Para homogeneidade, seja \lambda\in\mathbb{R} e u=(x,y,z). Então
T(\lambda u) = T(\lambda x,\lambda y,\lambda z) = (\lambda x+\lambda y+\lambda z,\;\lambda x+\lambda y,\;\lambda x,\;0)
= \lambda\,(x+y+z,\;x+y,\;x,\;0) = \lambda T(x,y,z).

Passo 4

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

T é transformação linear.

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