Verifique que cada uma das aplicações lineares abaixo é um isomorfismo e encontre a aplicação inversa.
(1) T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(z, y-4 z, x-3 y-2 z)

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar que
T:R^3toR^3, T(x,y,z)=(z,;y-4z,;x-3y-2z)
é um isomorfismo linear (ou seja, bijetivo e linear) e encontrar sua inversa T^-1.
Conteúdo: representação matricial de transformações lineares, determinante para testar invertibilidade e resolução de sistema linear para achar a inversa.

Passo 2

Vamos escrever
então
Logo
de modo que ((u_1,u_2,u_3){T}=A,(x,y,z){T}].

Passo 3

Calculamos o determinante de A para verificar invertibilidade:
det(A) = 0cdotdet1 & -4-3 & -2 -0cdotdet0 & -41 & -2 +1cdotdet0 & 11 & -3 =1l(0cdot(-3)-1cdot1r)=-1neq0
Como det(A)neq0, concluímos que T é bijetiva e, portanto, um isomorfismo.

Passo 4

Para achar
Da primeira equação vem
Da segunda,
Substituindo em (u_3 = x -3y -2z], obtemos

Portanto

Resposta

A transformação é isomorfismo porque det(A)=-1neq0.
Sua inversa é
T^-1(u1,u2,u3) =l(14u1 +3u2 +u3,;u2+4u1,;u1r)

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