Mostre as propriedades da transposta.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos as principais propriedades da transposta de uma matriz. O conteúdo é Álgebra Linear, mais precisamente operação de transposição em matrizes. Para isso, vamos usar a definição em termos de componentes: se
é uma matriz de ordem
, então a sua transposta
é uma matriz de ordem
cujos elementos satisfazem
Passo 2
Prova de
. Aplicando a definição duas vezes, temos
Como isso vale para todo
, concluímos que
.
Passo 3
Prova de
e de
. Se
e
são ambas
e
é escalar, então
e
Logo
e
.
Passo 4
Prova de
. Se
é
e
é
, então
Portanto
.
Passo 5
Corolários imediatos:
- A transposta da matriz nula é ela mesma:
. - A transposta da matriz identidade é ela mesma:
. - Se
é invertível, então usando e transpondo obtemos
o que implica
.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) para escalar
.
(d) .
(e) e
.
(f) Se é invertível, então
.
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) Se