Mostre as propriedades da transposta.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos as principais propriedades da transposta de uma matriz. O conteúdo é Álgebra Linear, mais precisamente operação de transposição em matrizes. Para isso, vamos usar a definição em termos de componentes: se A é uma matriz de ordem mtimes n, então a sua transposta A^T é uma matriz de ordem ntimes m cujos elementos satisfazem
(A^T)ij = Aji

Passo 2

Prova de (A^T)^T = A. Aplicando a definição duas vezes, temos
l((A^T)^Tr)ij = (A^T)ji = Aij
Como isso vale para todo i,j, concluímos que (A^T)^T = A.

Passo 3

Prova de (A + B)^T = A^T + B^T e de (kA)^T = k,A^T. Se A e B são ambas mtimes n e k é escalar, então
l(A + Br)^Tij = (A + B)ji = Aji + Bji = A^Tij + B^Tij
e
(kA)^Tij = (kA)ji = k,Aji = k,A^Tij
Logo (A + B)^T = A^T + B^T e (kA)^T = k,A^T.

Passo 4

Prova de (AB)^T = B^T A^T. Se A é mtimes p e B é ptimes n, então
(AB)^Tij = (AB)ji = sumk=1^p Ajk,Bki = sumk=1^p B^Tik,A^Tkj = l(B^T A^Tr)ij
Portanto (AB)^T = B^T A^T.

Passo 5

Corolários imediatos:
  1. A transposta da matriz nula é ela mesma: 0^T = 0.
  2. A transposta da matriz identidade é ela mesma: I^T = I.
  3. Se A é invertível, então usando I = A,A^-1 e transpondo obtemos
I^T = (A,A^-1)^T = (A^-1)^T A^T = I,
o que implica (A^-1)^T = (A^T)^-1.

Resposta

(a) (A^T)^T = A.
(b) (A + B)^T = A^T + B^T.
(c) (kA)^T = k,A^T para escalar k.
(d) (AB)^T = B^T A^T.
(e) 0^T = 0 e I^T = I.
(f) Se A é invertível, então (A^-1)^T = (A^T)^-1.

Exercícios relacionados