Sejam A, B in M2, mostre que:
tr(A B-B A)=0.
onde tr(A) denota o traço da matriz A, ou seja a soma da diagonal principal da matriz A.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer matrizes A,BinM2, vale
tr(AB - BA)=0
O que precisamos usar é a definição de traço (soma dos elementos da diagonal principal) e o fato de que a multiplicação de escalares comuta.

Passo 2

Escrevendo componentes, seja
Então
e
Como para escalares vale , cada termo de coincide com o correspondente de . Logo

Passo 3

Usando a linearidade do traço, vem
tr(AB - BA) = tr(AB) - tr(BA) = 0

Resposta

tr(AB - BA)=0.

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