Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial.
k) W=A in Mn(R) mid A B=B A em que B é uma matriz dada.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão quer que a gente verifique se o conjunto , formado por todas as matrizes de ordem com entradas reais que satisfazem a condição (onde é uma matriz fixa dada), é um subespaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais propriedades ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço vetorial de um espaço vetorial é um conjunto que satisfaz três propriedades principais:
  1. Conjunto não vazio: O conjunto deve conter pelo menos o vetor zero.
  2. Fechado sob adição: Se dois vetores estão no conjunto, a soma deles também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está no conjunto, qualquer múltiplo desse vetor também deve estar no conjunto.
Nossa tarefa é verificar se atende a essas três condições dentro do espaço das matrizes .

Passo 3

1. Verificar se OB = O = BO é não vazio:
Vamos ver se a matriz zero está em . Isso significa verificar se .
Sabemos que a matriz zero multiplicada por qualquer matriz dá a matriz zero:
Portanto, está em , e isso mostra que não é vazio.

Passo 4

2. Verificar se A1 B = B A1 e A2 B = B A2 é fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes (A1 + A2) B = B (A1 + A2) e (A1 + A2) B = A1 B + A2 B = B A1 + B A2 = B (A1 + A2) em . Isso significa que:
Precisamos mostrar que também está em , ou seja, que:
Vamos calcular ambos os lados:
Portanto, , o que significa que também está em .

Passo 5

3. Verificar se A B = B A é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz (cA) B = B (cA) em (cA) B = c (A B) = c (B A) = B (c A) e um escalar . Como está em , temos:
Precisamos mostrar que também está em , ou seja:
Vamos calcular ambos os lados:
Portanto, , o que significa que também está em .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial.

Exercícios relacionados