Considere o grupo G=G L2(R) e o subconjunto H=(ccc & 0 0 & c) ; c in R^*.
(a) Mostre que H <= G.

Passo 1

Vamos resolver a questão que pede para mostrar que é um subgrupo de . Aqui, estamos trabalhando com teoria de grupos, especificamente analisando subgrupos dentro do grupo das matrizes invertíveis de ordem 2 sobre os números reais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se satisfaz os critérios necessários para ser considerado um subgrupo de .

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se c & 0 0 & c não está vazio, ou seja, se existe pelo menos um elemento em 1 & 0 0 & 1 . Observando a definição de , vemos que ele contém matrizes da forma:
onde é um número real diferente de zero ( ). Se escolhermos, por exemplo, , temos a matriz identidade:
que claramente está em . Portanto, não está vazio.

Passo 3

Em seguida, precisamos verificar se c & 0 0 & c é fechado sob a operação de multiplicação de matrizes. Ou seja, se pegarmos duas matrizes quaisquer de d & 0 0 & d e multiplicarmos elas, o resultado também deve estar em A cdot B = c cdot d & 0 0 & c cdot d .
Seja e duas matrizes em , onde . Ao multiplicarmos por , temos:
Como também pertence a (produto de dois números reais não nulos), o resultado está em . Portanto, é fechado sob multiplicação.

Passo 4

Finalmente, precisamos verificar se c & 0 0 & c é fechado sob a operação de inverso. Isso significa que, para qualquer matriz A^-1 = 1c & 0 0 & 1c em , o inverso de também deve estar em .
Consideremos em , onde . O inverso de é:
Como também pertence a , temos que está em . Assim, é fechado sob inversos.

Resposta

Como não está vazio, é fechado sob multiplicação e sob inversos, concluímos que é um subgrupo de . Portanto, .

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