Considere o grupo
e o subconjunto
.
(a) Mostre que
.
(a) Mostre que
Passo 1
Vamos resolver a questão que pede para mostrar que
é um subgrupo de
. Aqui, estamos trabalhando com teoria de grupos, especificamente analisando subgrupos dentro do grupo das matrizes invertíveis de ordem 2 sobre os números reais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se
satisfaz os critérios necessários para ser considerado um subgrupo de
.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se
não está vazio, ou seja, se existe pelo menos um elemento em
. Observando a definição de
, vemos que ele contém matrizes da forma:
onde
é um número real diferente de zero (
). Se escolhermos, por exemplo,
, temos a matriz identidade:
que claramente está em
. Portanto,
não está vazio.
Passo 3
Em seguida, precisamos verificar se
é fechado sob a operação de multiplicação de matrizes. Ou seja, se pegarmos duas matrizes quaisquer de
e multiplicarmos elas, o resultado também deve estar em
.
Seja
e
duas matrizes em
, onde
. Ao multiplicarmos
por
, temos:
Como
também pertence a
(produto de dois números reais não nulos), o resultado
está em
. Portanto,
é fechado sob multiplicação.
Passo 4
Finalmente, precisamos verificar se
é fechado sob a operação de inverso. Isso significa que, para qualquer matriz
em
, o inverso de
também deve estar em
.
Consideremos
em
, onde
. O inverso de
é:
Como
também pertence a
, temos que
está em
. Assim,
é fechado sob inversos.
Resposta
Como
não está vazio, é fechado sob multiplicação e sob inversos, concluímos que
é um subgrupo de
. Portanto,
.