Verifique, em cada caso, se os conjuntos dados são subespaços vetoriais:
V=\left(\mathbb{R}_{++}, \oplus, \odot\right), em que u \oplus v=u \cdot v e r \odot v=v^{r} e \mathcal{S}=\left\{2 n \mid n \in \mathbb{N}_{*}\right\}.
(Notação: \mathbb{R}_{++}=\{x \in \mathbb{R} \mid x>0\}).
11. Considere o espaço vetorial \mathbb{R}^{2} com as operações usuais e os conjuntos G=\{(x, x) \mid x \in \mathbb{R}\} e H=\{y(0,1) \mid y \in \mathbb{R}\}. Descreva qual subconjunto do plano representa a reunião G \cup H e qual representa a interseção G \cap H . G e H são subespaços? G \cup H é subespaço?
12. No espaço vetorial \mathbb{R}^{3} com as operações usuais, se G=\{x(1,0,0)+y(0,1,0) \mid x, y \in \mathbb{R}\} e H=\{(x, x, z) \mid x, z \in \mathbb{R}\}, descreva qual subconjunto de \mathbb{R}^{3} representa a reunião G \cup H e qual representa a interseção G \cap H . G e H são subespaços? G \cup H é subespaço?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede em cada item.
  • Primeiro caso (a): o conjunto é V=\left(\mathbb{R}_{++},\oplus,\odot\right) com operações definidas por
    u\oplus v = u\cdot v,\qquad r\odot v = v^{r},
    onde \mathbb{R}_{++}=\{x\in\mathbb{R}\mid x>0\}.
    Pergunta: esse par (\mathbb{R}_{++},\oplus,\odot) é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}? (ou, equivalentemente, verificar se com essas operações forma-se um espaço vetorial.)
  • Primeiro caso (b): o conjunto \mathcal{S}=\{2n\mid n\in\mathbb{N}_*\} (conjunto dos inteiros pares positivos). Pergunta: \mathcal{S} é subespaço vetorial de \mathbb{R} (com operações usuais)?
  • Item 11: espaço vetorial \mathbb{R}^2 com operações usuais. Definem-se
    G=\{(x,x)\mid x\in\mathbb{R}\},\qquad H=\{y(0,1)\mid y\in\mathbb{R}\}=\{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\}.
    Perguntas: descrever geometricamente G\cup H e G\cap H. G e H são subespaços? G\cup H é subespaço?
  • Item 12: espaço vetorial \mathbb{R}^3 com operações usuais. Definem-se
    G=\{x(1,0,0)+y(0,1,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\},\qquad H=\{(x,x,z)\mid x,z\in\mathbb{R}\}.
    Perguntas: descrever geometricamente G\cup H e G\cap H. G e H são subespaços? G\cup H é subespaço?

Passo 2

Definição e critérios rápidos que vou usar (explicação didática curta e necessária):
  • Um conjunto W com operações soma e multiplicação por escalar é subespaço de um espaço vetorial se:
    1. W contém o vetor zero;
    2. W é fechado sob soma (se u,v\in W então u+v\in W);
    3. W é fechado sob multiplicação por escalar (se r\in\mathbb{R} e v\in W então r v\in W).
  • Para provar que algo é espaço vetorial (no caso de V com operações não usuais) posso mostrar que existe um isomorfismo linear com um espaço vetorial já conhecido (por exemplo \mathbb{R} com operações usuais). Um isomorfismo preserva soma e multiplicação por escalar; se existe bijeção linear para \mathbb{R} então a estrutura é espaço vetorial.

Passo 3

Analisando V=\left(\mathbb{R}_{++},\oplus,\odot\right).
  • Observação útil: considere a função \varphi:\mathbb{R}_{++}\to\mathbb{R},\qquad \varphi(v)=\ln v.Vou checar como \varphi transforma as operações \oplus e \odot em operações usuais em \mathbb{R}.
  • Para soma em V: \varphi(u\oplus v)=\varphi(u\cdot v)=\ln(u\cdot v)=\ln u+\ln v=\varphi(u)+\varphi(v).Ou seja, \varphi transforma a soma \oplus em soma usual em \mathbb{R}.
  • Para multiplicação por escalar: \varphi(r\odot v)=\varphi(v^{r})=\ln(v^{r})=r\ln v = r\,\varphi(v).Ou seja, \varphi transforma a multiplicação por escalar \odot em multiplicação usual por r em \mathbb{R}.
  • Conclusão técnica: \varphi é um isomorfismo linear entre \big(\mathbb{R}_{++},\oplus,\odot\big) e (\mathbb{R},+,\cdot). Além disso \varphi é bijetora (logaritmo em \mathbb{R}_{++} é bijetivo para \mathbb{R}). Portanto \big(\mathbb{R}_{++},\oplus,\odot\big) satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial porque é isomorfo a \mathbb{R}, que é espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
  • Complemento prático (para provar sem isomorfismo): a identidade aditiva em V é o elemento e tal que e\oplus v=v para todo v. Isso dá e\cdot v=v logo e=1. O inverso aditivo de v em V é o w tal que v\oplus w=1, isto é v\cdot w=1, logo w=v^{-1}. A multiplicação por 0 0\odot v=v^{0}=1, que corresponde ao zero do espaço vetorial em \mathbb{R} via \varphi. Tudo é coerente porque \varphi(1)=0. Esses cálculos mostram concretamente como ficam identidade e inversos.
  • Portanto, com as operações dadas, \mathbb{R}_{++} é de fato um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 4

Analisando \mathcal{S}=\{2n\mid n\in\mathbb{N}_*\}, como subconjunto de \mathbb{R} com operações usuais.
  • Primeiro requisito simples: um subespaço de \mathbb{R} (espaço vetorial sobre \mathbb{R}) deve conter o vetor zero 0. Verifico se 0\in\mathcal{S}.
  • Por definição \mathcal{S}=\{2,4,6,\dots\}. O elemento 0 NÃO pertence a \mathcal{S}, porque 0 não é da forma 2n com n\in\mathbb{N}_* (se \mathbb{N}_*=\{1,2,3,\dots\}).
  • Já só por isso \mathcal{S} não é subespaço (falha o item “contém zero”).
  • Para reforçar: também falha fechamento sob multiplicação por escalar, por exemplo tome v=2\in\mathcal{S} e o escalar r=\tfrac{1}{2}. Então r v = 1\notin\mathcal{S}. Logo falha a segunda propriedade essencial.
  • Conclusão: \mathcal{S} NÃO é subespaço vetorial de \mathbb{R}.

Passo 5

Item 11: descrição de G e H e verificação de subespaço.
  • Geometria dos conjuntos:
    • G=\{(x,x)\mid x\in\mathbb{R}\} é a reta do plano dada por y=x (diagonal que passa pela origem).
    • H=\{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\} é o eixo y (reta vertical que passa pela origem).
  • Interseção G\cap H: resolver (x,x)=(0,y). Isso obriga x=0 e y=0. Logo G\cap H=\{(0,0)\}.
  • Reunião G\cup H: é o conjunto de pontos que estão ou na reta y=x ou no eixo y (ou ambos). Geometricamente é a união das duas retas que se cruzam na origem.
  • Verificação de subespaço:
    • G é subespaço porque é \mathrm{span}\{(1,1)\}: contém a origem e é fechado sob soma e multiplicação por escalares (qualquer múltiplo de (1,1) tem forma (x,x)). Portanto G é subespaço de dimensão 1.
    • H é subespaço porque é \mathrm{span}\{(0,1)\}: o eixo y passa pela origem e é fechado sob soma e escalares.
    • G\cup H não é subespaço em geral, a menos que uma reta esteja contida na outra. Aqui nenhuma está contida na outra (por exemplo (1,1)\in G mas (1,1)\notin H; (0,1)\in H mas (0,1)\notin G). Para dar um contraexemplo de fechamento: tome u=(1,1)\in G e v=(0,1)\in H. A soma u+v=(1,2)não pertence nem a G (pois 1\neq2) nem a H (pois primeira componente não é zero). Logo G\cup H não é fechado sob soma e portanto NÃO é subespaço.

Passo 6

Item 12: descrição de G e H em \mathbb{R}^3 e verificação.
  • Escrever G de forma familiar: G=\{x(1,0,0)+y(0,1,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\}=\{\,(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\,\}.Geometricamente, G é o plano z=0 (o plano xy, que passa pela origem).
  • Escrever H de forma familiar: H=\{(x,x,z)\mid x,z\in\mathbb{R}\}=\{\;x(1,1,0)+z(0,0,1)\mid x,z\in\mathbb{R}\;\}.Geometricamente, H é o plano formado por todos os vetores cujas primeiras duas coordenadas são iguais (plano que passa pela origem e contém as direções (1,1,0) e (0,0,1)).
  • Interseção G\cap H: elementos de G têm forma (x,y,0) e elementos de H têm forma (t,t,z). Igualando coordenadas e exigindo z=0 (porque ponto em G tem z=0), obtemos x=y=t e z=0. Logo G\cap H=\{(x,x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}=\mathrm{span}\{(1,1,0)\},que é uma reta passando pela origem (dimensão 1).
  • Reunião G\cup H: é o conjunto dos pontos que estão ou no plano z=0 ou no plano x=y (ou em ambos). Geometricamente é a união de dois planos que se cruzam ao longo da reta \{(x,x,0)\}.
  • Verificação de subespaço:
    • G é subespaço (é um plano através da origem, span de (1,0,0) e (0,1,0)).
    • H é subespaço (é o span de (1,1,0) e (0,0,1)).
    • G\cup H não é subespaço em geral, a menos que um plano esteja contido no outro (não é o caso). Contraexemplo de fechamento: escolha u=(1,0,0)\in G\setminus H\quad\text{e}\quad v=(1,1,1)\in H\setminus G.A soma u+v=(2,1,1)não pertence a G (porque sua terceira coordenada é 1\neq0) e não pertence a H (porque suas duas primeiras coordenadas 2 e 1 não são iguais). Logo G\cup H não é fechado sob soma, portanto NÃO é subespaço.

Resposta

V=\big(\mathbb{R}_{++},\oplus,\odot\big) é um espaço vetorial sobre \mathbb{R} (isomorfo a \mathbb{R} via \varphi(v)=\ln v).\n
\mathcal{S}=\{2n\mid n\in\mathbb{N}_*\} não é subespaço de \mathbb{R}.\n
11) G\cup H é a união da reta y=x com o eixo y (duas retas que se cruzam na origem); G\cap H=\{(0,0)\}. G e H são subespaços (cada uma é uma reta passando pela origem). G\cup H não é subespaço.\n
12) G\cup H é a união do plano z=0 com o plano x=y; G\cap H=\{(x,x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}=\mathrm{span}\{(1,1,0)\}. G e H são subespaços (planos que passam pela origem). G\cup H não é subespaço.

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