Verifique, em cada caso, se os conjuntos dados são subespaços vetoriais:
, em que
e
e
.
(Notação:
).
11. Considere o espaço vetorial
com as operações usuais e os conjuntos
e
. Descreva qual subconjunto do plano representa a reunião
e qual representa a interseção
e
são subespaços?
é subespaço?
12. No espaço vetorial
com as operações usuais, se
e
, descreva qual subconjunto de
representa a reunião
e qual representa a interseção
e
são subespaços?
é subespaço?
(Notação:
11. Considere o espaço vetorial
12. No espaço vetorial
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede em cada item.
-
Primeiro caso (a): o conjunto é
com operações definidas por onde.
Pergunta: esse paré um espaço vetorial sobre ? (ou, equivalentemente, verificar se com essas operações forma-se um espaço vetorial.) -
Primeiro caso (b): o conjunto
(conjunto dos inteiros pares positivos). Pergunta: é subespaço vetorial de (com operações usuais)? -
Item 11: espaço vetorial
com operações usuais. Definem-se Perguntas: descrever geometricamentee . e são subespaços? é subespaço? -
Item 12: espaço vetorial
com operações usuais. Definem-se Perguntas: descrever geometricamentee . e são subespaços? é subespaço?
Passo 2
Definição e critérios rápidos que vou usar (explicação didática curta e necessária):
- Um conjunto
com operações soma e multiplicação por escalar é subespaço de um espaço vetorial se: -
contém o vetor zero; -
é fechado sob soma (se então ); -
é fechado sob multiplicação por escalar (se e então ).
-
- Para provar que algo é espaço vetorial (no caso de
com operações não usuais) posso mostrar que existe um isomorfismo linear com um espaço vetorial já conhecido (por exemplo com operações usuais). Um isomorfismo preserva soma e multiplicação por escalar; se existe bijeção linear para então a estrutura é espaço vetorial.
Passo 3
Analisando
.
- Observação útil: considere a função
Vou checar como transforma as operações e em operações usuais em . - Para soma em
: Ou seja, transforma a soma em soma usual em . - Para multiplicação por escalar:
Ou seja, transforma a multiplicação por escalar em multiplicação usual por em . - Conclusão técnica:
é um isomorfismo linear entre e . Além disso é bijetora (logaritmo em é bijetivo para ). Portanto satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial porque é isomorfo a , que é espaço vetorial sobre . - Complemento prático (para provar sem isomorfismo): a identidade aditiva em
é o elemento tal que para todo . Isso dá logo . O inverso aditivo de em é o tal que , isto é , logo . A multiplicação por dá , que corresponde ao zero do espaço vetorial em via . Tudo é coerente porque . Esses cálculos mostram concretamente como ficam identidade e inversos. - Portanto, com as operações dadas,
é de fato um espaço vetorial sobre .
Passo 4
Analisando
, como subconjunto de
com operações usuais.
- Primeiro requisito simples: um subespaço de
(espaço vetorial sobre ) deve conter o vetor zero . Verifico se . - Por definição
. O elemento NÃO pertence a , porque não é da forma com (se ). - Já só por isso
não é subespaço (falha o item “contém zero”). - Para reforçar: também falha fechamento sob multiplicação por escalar, por exemplo tome
e o escalar . Então . Logo falha a segunda propriedade essencial. - Conclusão:
NÃO é subespaço vetorial de .
Passo 5
Item 11: descrição de
e
e verificação de subespaço.
- Geometria dos conjuntos:
-
é a reta do plano dada por (diagonal que passa pela origem). -
é o eixo (reta vertical que passa pela origem).
-
- Interseção
: resolver . Isso obriga e . Logo - Reunião
: é o conjunto de pontos que estão ou na reta ou no eixo (ou ambos). Geometricamente é a união das duas retas que se cruzam na origem. - Verificação de subespaço:
-
é subespaço porque é : contém a origem e é fechado sob soma e multiplicação por escalares (qualquer múltiplo de tem forma ). Portanto é subespaço de dimensão . -
é subespaço porque é : o eixo passa pela origem e é fechado sob soma e escalares. -
não é subespaço em geral, a menos que uma reta esteja contida na outra. Aqui nenhuma está contida na outra (por exemplo mas ; mas ). Para dar um contraexemplo de fechamento: tome e . A soma não pertence nem a (pois ) nem a (pois primeira componente não é zero). Logo não é fechado sob soma e portanto NÃO é subespaço.
-
Passo 6
Item 12: descrição de
e
em
e verificação.
- Escrever
de forma familiar: Geometricamente, é o plano (o plano , que passa pela origem). - Escrever
de forma familiar: Geometricamente, é o plano formado por todos os vetores cujas primeiras duas coordenadas são iguais (plano que passa pela origem e contém as direções e ). - Interseção
: elementos de têm forma e elementos de têm forma . Igualando coordenadas e exigindo (porque ponto em tem ), obtemos e . Logo que é uma reta passando pela origem (dimensão ). - Reunião
: é o conjunto dos pontos que estão ou no plano ou no plano (ou em ambos). Geometricamente é a união de dois planos que se cruzam ao longo da reta . - Verificação de subespaço:
-
é subespaço (é um plano através da origem, span de e ). -
é subespaço (é o span de e ). -
não é subespaço em geral, a menos que um plano esteja contido no outro (não é o caso). Contraexemplo de fechamento: escolha A soma não pertence a (porque sua terceira coordenada é ) e não pertence a (porque suas duas primeiras coordenadas e não são iguais). Logo não é fechado sob soma, portanto NÃO é subespaço.
-
Resposta
11)
12)