Seja
. Represente um elemento arbitrário
de
como soma:
(a) de um vetor do plano
com outro do plano
;
(b) de um vetor do plano
com outro do eixo
;
(c) de um vetor do plano
com outro do eixo
.
(a) de um vetor do plano
(b) de um vetor do plano
(c) de um vetor do plano
Passo 1
O enunciado pede que, dado um vetor arbitrário
, eu escreva
como soma de dois vetores, em três situações diferentes:
(a) um vetor do plano somado a um vetor do plano
;
(b) um vetor do plano somado a um vetor do eixo
;
(c) um vetor do plano somado a um vetor do eixo
.
(a) um vetor do plano
(b) um vetor do plano
(c) um vetor do plano
Informações dadas (definições que vou usar, extraídas do próprio enunciado):
- Um vetor arbitrário de
escrevo como , com . - Plano
significa o conjunto de vetores cuja componente é zero: . - Plano
significa o conjunto de vetores cuja componente é zero: . - Plano
significa . - Plano
significa . - Eixo
significa . - Eixo
significa .
O objetivo é, para cada item, encontrar vetores
e
com as propriedades exigidas (pertencentes aos subespaços indicados) tais que
. A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Estratégia geral (receita que uso para os três itens):
- Parametrizo os vetores dos subespaços envolvidos com variáveis.
- Escrevo a igualdade
compondo coordenada a coordenada. - Resolvo o sistema resultante para as variáveis das parametrizações, escolhendo uma solução simples quando houver liberdade.
Vou aplicar isso com calma em cada item. Lembre-se: somar vetores emé somar as componentes correspondentes.
Passo 3
Item (a). Queremos
como soma de um vetor do plano
e de um vetor do plano
.
- Parametrização:
- Um vetor genérico do plano
é . - Um vetor genérico do plano
é .
- Igualdade
dá, compondo:
- Há liberdade na escolha de
e desde que . Para simplificar (escolha natural e fácil de escrever na prova), escolho e . Assim:
- Verificação rápida:
e
pertence a
,
pertence a
. Pronto para (a).
Passo 4
Item (b). Queremos
como soma de um vetor do plano
e de um vetor do eixo
.
- Parametrização:
- Um vetor genérico do plano
é . - Um vetor genérico do eixo
é .
- Igualdade
dá, compondo:
- Já da primeira e terceira equações temos
e . Substituindo na terceira:
- Agora encontro
pela segunda equação:
- Assim uma escolha explícita (única resultante do sistema) é
- Verificação:
e
satisfaz
,
está no eixo
. Está certo.
Passo 5
Item (c). Queremos
como soma de um vetor do plano
e de um vetor do eixo
.
- Parametrização:
- Um vetor genérico do plano
é (mesma e , escrevo esse valor comum como ). - Um vetor genérico do eixo
é .
- Igualdade
dá, compondo:
- Das duas primeiras equações vem
e . Substituindo em :
- Portanto uma escolha explícita é
- Verificação:
com
em
e
no eixo
. Beleza.
Resposta
(a)
(b)
(c)