Seja V=\mathbb{R}^{3}. Represente um elemento arbitrário v de V como soma:
(a) de um vetor do plano x z com outro do plano y z;
(b) de um vetor do plano z=x+y com outro do eixo y;
(c) de um vetor do plano y=z com outro do eixo z.

Passo 1

O enunciado pede que, dado um vetor arbitrário v\in\mathbb{R}^3, eu escreva v como soma de dois vetores, em três situações diferentes:
(a) um vetor do plano x z somado a um vetor do plano y z;
(b) um vetor do plano z=x+y somado a um vetor do eixo y;
(c) um vetor do plano y=z somado a um vetor do eixo z.
Informações dadas (definições que vou usar, extraídas do próprio enunciado):
  • Um vetor arbitrário de V escrevo como v=(v_1,v_2,v_3), com v_1,v_2,v_3\in\mathbb{R}.
  • Plano x z significa o conjunto de vetores cuja componente y é zero: \{(x,0,z)\}.
  • Plano y z significa o conjunto de vetores cuja componente x é zero: \{(0,y,z)\}.
  • Plano z=x+y significa \{(x,y,z)\mid z=x+y\}.
  • Plano y=z significa \{(x,y,z)\mid y=z\}.
  • Eixo y significa \{(0,y,0)\}.
  • Eixo z significa \{(0,0,z)\}.
O objetivo é, para cada item, encontrar vetores u e w com as propriedades exigidas (pertencentes aos subespaços indicados) tais que v=u+w. A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Estratégia geral (receita que uso para os três itens):
  • Parametrizo os vetores dos subespaços envolvidos com variáveis.
  • Escrevo a igualdade v=u+w compondo coordenada a coordenada.
  • Resolvo o sistema resultante para as variáveis das parametrizações, escolhendo uma solução simples quando houver liberdade.
    Vou aplicar isso com calma em cada item. Lembre-se: somar vetores em \mathbb{R}^3 é somar as componentes correspondentes.

Passo 3

Item (a). Queremos v=(v_1,v_2,v_3) como soma de um vetor do plano xz e de um vetor do plano yz.
  1. Parametrização:
  • Um vetor genérico do plano xz é (a,0,c).
  • Um vetor genérico do plano yz é (0,b,d).
  1. Igualdade v=(a,0,c)+(0,b,d) dá, compondo:
v_1=a,\qquad v_2=b,\qquad v_3=c+d.
  1. Há liberdade na escolha de c e d desde que c+d=v_3. Para simplificar (escolha natural e fácil de escrever na prova), escolho c=0 e d=v_3. Assim:
u=(a,0,c)=(v_1,0,0),\qquad w=(0,b,d)=(0,v_2,v_3).
  1. Verificação rápida:
u+w=(v_1,0,0)+(0,v_2,v_3)=(v_1,v_2,v_3)=v,
e u pertence a xz, w pertence a yz. Pronto para (a).

Passo 4

Item (b). Queremos v=(v_1,v_2,v_3) como soma de um vetor do plano z=x+y e de um vetor do eixo y.
  1. Parametrização:
  • Um vetor genérico do plano z=x+y é (x,y,x+y).
  • Um vetor genérico do eixo y é (0,t,0).
  1. Igualdade v=(x,y,x+y)+(0,t,0) dá, compondo:
v_1=x,\qquad v_2=y+t,\qquad v_3=x+y.
  1. Já da primeira e terceira equações temos x=v_1 e x+y=v_3. Substituindo x=v_1 na terceira:
v_3=v_1+y \quad\Rightarrow\quad y=v_3-v_1.
  1. Agora encontro t pela segunda equação:
v_2 = y+t = (v_3-v_1)+t \quad\Rightarrow\quad t = v_2 - (v_3-v_1) = v_1+v_2-v_3.
  1. Assim uma escolha explícita (única resultante do sistema) é
u=(x,y,x+y)=(v_1,\;v_3-v_1,\;v_3), \qquad w=(0,t,0)=(0,\;v_1+v_2-v_3,\;0).
  1. Verificação:
u+w=(v_1,\;v_3-v_1,\;v_3)+(0,\;v_1+v_2-v_3,\;0)=(v_1,v_2,v_3)=v,
e u satisfaz z=x+y, w está no eixo y. Está certo.

Passo 5

Item (c). Queremos v=(v_1,v_2,v_3) como soma de um vetor do plano y=z e de um vetor do eixo z.
  1. Parametrização:
  • Um vetor genérico do plano y=z é (x,s,s) (mesma y e z, escrevo esse valor comum como s).
  • Um vetor genérico do eixo z é (0,0,t).
  1. Igualdade v=(x,s,s)+(0,0,t) dá, compondo:
v_1=x,\qquad v_2=s,\qquad v_3=s+t.
  1. Das duas primeiras equações vem x=v_1 e s=v_2. Substituindo em v_3:
v_3=v_2+t \quad\Rightarrow\quad t=v_3-v_2.
  1. Portanto uma escolha explícita é
u=(x,s,s)=(v_1,\;v_2,\;v_2), \qquad w=(0,0,t)=(0,0,\;v_3-v_2).
  1. Verificação:
u+w=(v_1,v_2,v_2)+(0,0,v_3-v_2)=(v_1,v_2,v_3)=v,
com u em y=z e w no eixo z. Beleza.

Resposta

(a) v=(v_1,v_2,v_3)=(v_1,0,0)+(0,v_2,v_3)
(b) v=(v_1,v_2,v_3)=(v_1,\;v_3-v_1,\;v_3)+(0,\;v_1+v_2-v_3,\;0)
(c) v=(v_1,v_2,v_3)=(v_1,\;v_2,\;v_2)+(0,0,\;v_3-v_2)

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