Dê exemplos de subespaços próprios
e
em
tais que
e
quando:
.
Passo 1
O enunciado pede: “Dê exemplos de subespaços próprios
e
em
tais que
e
quando
.”
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
-
é o espaço vetorial dos polinômios com coeficientes em (ou outro corpo, normalmente ) de grau menor ou igual a . -
; uma base padrão é .
O objetivo é apresentar subespaços próprios (isto é, diferentes de) e que satisfaçam simultaneamente e .
Passo 2
Proponho os subespaços
Vou primeiro justificar que são subespaços e que são próprios (não iguais a
).
-
é um subespaço porque é o span (fecho linear) de vetores de . Todo span é subespaço. Além disso (vértices linearmente independentes e ), logo pois . -
é subespaço por mesma razão. Os vetores são linearmente independentes, então , logo também é próprio ( ).
Passo 3
Vou verificar que
e identificar essa interseção.
Observação simples:
(pois
) e
(pois é um gerador de
). Portanto
, o que mostra imediatamente que
.
Agora caracterizo
. Se
então existem
tais que
e
Comparando as duas escritas, os coeficientes de
e
devem ser zero, logo
. O termo constante da expressão em
é zero, então também
. Assim sobra
ou seja
é múltiplo de
. Portanto
que tem dimensão
. Em particular a interseção é não vazia e não trivial (contém vetores além do zero).
Passo 4
Agora verifico que
. Há duas formas equivalentes: mostrar que uma base de
está contida em
ou usar a fórmula de dimensões.
-
Forma direta: os vetores
(base de ) satisfazem Assim a base inteira deestá em , logo . Como , segue . Obviamente , então . -
Forma pela dimensão (compacta): usando a fórmula de Grassmann,Como
e têm mesma dimensão, .
Ambas as formas chegam à mesma conclusão:
.
Passo 5
Resumo e interpretação intuitiva (um “porquê” fácil de memorizar para a prova): escolhemos
como polinômios de grau
e
como polinômios sem termo constante (gerados por
). Eles se sobrepõem no gerador
, então a interseção é não vazia. Mas entre os dois coletivamente conseguimos os quatro geradores distintos
, suficientes para gerar todo
, então
. Isso é um padrão útil: tomar subespaços cujas somas das dimensões excedam
e com interseção de dimensão apropriada normalmente dá soma igual a
.