Dê exemplos de subespaços próprios G e H em V tais que G+H=V e G \cap H \neq \emptyset quando:
V=\mathcal{P}_{3}.

Passo 1

O enunciado pede: “Dê exemplos de subespaços próprios G e H em V tais que G+H=V e G\cap H\neq\emptyset quando V=\mathcal{P}_3.”
Informações relevantes dadas:
  • V=\mathcal{P}_3 é o espaço vetorial dos polinômios com coeficientes em \mathbb{R} (ou outro corpo, normalmente \mathbb{R}) de grau menor ou igual a 3.
  • \dim(\mathcal{P}_3)=4; uma base padrão é \{1,x,x^2,x^3\}.
    O objetivo é apresentar subespaços próprios (isto é, diferentes de V) G e H que satisfaçam simultaneamente G+H=V e G\cap H\neq\emptyset.

Passo 2

Proponho os subespaços
G=\operatorname{span}\{1,x\} \qquad\text{e}\qquad H=\operatorname{span}\{x,x^2,x^3\}.
Vou primeiro justificar que são subespaços e que são próprios (não iguais a V).
  • G é um subespaço porque é o span (fecho linear) de vetores de V. Todo span é subespaço. Além disso \dim(G)=2 (vértices linearmente independentes 1 e x), logo G\neq V pois \dim(V)=4.
  • H é subespaço por mesma razão. Os vetores x,x^2,x^3 são linearmente independentes, então \dim(H)=3, logo H também é próprio ( 3<4).

Passo 3

Vou verificar que G\cap H\neq\emptyset e identificar essa interseção.
Observação simples: x\in G (pois x=0\cdot1+1\cdot x) e x\in H (pois é um gerador de H). Portanto x\in G\cap H, o que mostra imediatamente que G\cap H\neq\emptyset.
Agora caracterizo G\cap H. Se p\in G\cap H então existem a,b,c,d\in\mathbb{R} tais que
p = \alpha\cdot 1 + \beta\cdot x \quad\text{(porque }p\in G\text{)}
e
p = \gamma\cdot x + \delta\cdot x^2 + \epsilon\cdot x^3 \quad\text{(porque }p\in H\text{)}.
Comparando as duas escritas, os coeficientes de x^2 e x^3 devem ser zero, logo \delta=\epsilon=0. O termo constante da expressão em H é zero, então também \alpha=0. Assim sobra
p = \beta x = \gamma x,
ou seja p é múltiplo de x. Portanto
G\cap H = \operatorname{span}\{x\},
que tem dimensão 1. Em particular a interseção é não vazia e não trivial (contém vetores além do zero).

Passo 4

Agora verifico que G+H=V. Há duas formas equivalentes: mostrar que uma base de V está contida em G+H ou usar a fórmula de dimensões.
  • Forma direta: os vetores 1,x,x^2,x^3 (base de V) satisfazem
    1\in G\subset G+H,\quad x\in G\subset G+H,\quad x^2\in H\subset G+H,\quad x^3\in H\subset G+H.
    Assim a base inteira de V está em G+H, logo \operatorname{span}\{1,x,x^2,x^3\}\subset G+H. Como \operatorname{span}\{1,x,x^2,x^3\}=V, segue V\subset G+H. Obviamente G+H\subset V, então G+H=V.
  • Forma pela dimensão (compacta): usando a fórmula de Grassmann,
    \dim(G+H)=\dim(G)+\dim(H)-\dim(G\cap H)=2+3-1=4=\dim(V).
    Como G+H\subset V e têm mesma dimensão, G+H=V.
Ambas as formas chegam à mesma conclusão: G+H=V.

Passo 5

Resumo e interpretação intuitiva (um “porquê” fácil de memorizar para a prova): escolhemos G como polinômios de grau \le1 e H como polinômios sem termo constante (gerados por x,x^2,x^3). Eles se sobrepõem no gerador x, então a interseção é não vazia. Mas entre os dois coletivamente conseguimos os quatro geradores distintos 1,x,x^2,x^3, suficientes para gerar todo \mathcal{P}_3, então G+H=V. Isso é um padrão útil: tomar subespaços cujas somas das dimensões excedam \dim V e com interseção de dimensão apropriada normalmente dá soma igual a V.

Resposta

G=\operatorname{span}\{1,x\} e H=\operatorname{span}\{x,x^2,x^3\}.

Exercícios relacionados