Verifique, em cada caso, se os conjuntos dados são subespaços vetoriais:
V=\mathcal{P}_{1}(\mathbb{R}), espaço de todos os polinômios reais de grau \leq 1, com as operações usuais e
\mathcal{S}_{1}=\{p \in V \mid p tem zero como raiz \} ; \quad \mathcal{S}_{2}=\{p \in V \mid p é divisível por (t-1)\} ;
\mathcal{S}_{3}=\{p \in V \mid p tem coeficientes racionais \}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathcal{P}_{1}(\mathbb{R}), que é o conjunto de todos os polinômios reais de grau \le 1, com as operações usuais (adição de polinômios e multiplicação por escalar real). Pede para verificar, em cada caso, se o conjunto é subespaço vetorial:
  • \mathcal{S}_{1}=\{p\in V \mid p \text{ tem zero como raiz}\}.
  • \mathcal{S}_{2}=\{p\in V \mid p \text{ é divisível por }(t-1)\}éí.
  • \mathcal{S}_{3}=\{p\in V \mid p \text{ tem coeficientes racionais}\}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado que vou usar (pego diretamente do enunciado):
  • V=\mathcal{P}_{1}(\mathbb{R}) é formado por polinômios reais de grau no máximo 1.
  • As condições que definem \mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2,\mathcal{S}_3 estão explícitas acima.
  • A base do que é um subespaço: testar inclusão do vetor zero, fechamento por soma e fechamento por multiplicação por escalares (vou explicar isso em detalhe no próximo passo).

Passo 2

Representação geral de um polinômio em V. Qualquer p\in V pode ser escrito como
p(t)=a t + b,
onde a,b\in\mathbb{R}. Aqui a é o coeficiente de t e b é o termo constante. O polinômio zero é o caso a=0,\\ b=0, i.e. 0(t)=0.
Explicando as operações (para lembrar): se p_1(t)=a_1 t + b_1 e p_2(t)=a_2 t + b_2, então
p_1+p_2=(a_1+a_2)t + (b_1+b_2),
e para \lambda\in\mathbb{R},
\lambda p_1=(\lambda a_1)t + (\lambda b_1).

Passo 3

Critério prático para verificar subespaço (explicação didática): um subconjunto S\subseteq V é subespaço vetorial de V se e somente se
  1. 0\in S (contém o polinômio zero),
  2. para quaisquer u,v\in S, tem-se u+v\in S (fechamento por adição),
  3. para qualquer \lambda\in\mathbb{R} e qualquer u\in S, tem-se \lambda u\in S (fechamento por multiplicação por escalar).
Por que esses três? Porque fechar sobre soma e multiplicação por escalar garante que quaisquer combinações lineares de elementos de S ficam em S; e conter o zero garante um ponto de partida (o zero é sempre combinação linear trivial). Esses são os testes que vou aplicar em cada \mathcal{S}_i.

Passo 4

Análise de \mathcal{S}_{1}=\{p\in V \mid p \text{ tem zero como raiz}\}.
  • Traduzindo a condição: “ter zero como raiz” significa p(0)=0.
  • Para um p(t)=a t + b, calcular p(0) p(0)=b. Então p(0)=0 implica b=0.
  • Logo os elementos de \mathcal{S}_1 são exatamente os polinômios da forma p(t)=a t,\quad a\in\mathbb{R}.
Agora verifico as três propriedades do passo anterior:
  1. Zero: tomando a=0 obtemos p(t)=0, logo 0\in\mathcal{S}_1.
  2. Soma: se p_1(t)=a_1 t e p_2(t)=a_2 t então p_1+p_2=(a_1+a_2)t,que também é da forma a t; logo p_1+p_2\in\mathcal{S}_1.
  3. Multiplicação por escalar: para \lambda\in\mathbb{R}, \lambda p_1=(\lambda a_1)t,também da forma a t; portanto \lambda p_1\in\mathcal{S}_1.
Conclusão intercalar: \mathcal{S}_1 satisfaz as três propriedades, portanto é subespaço de V. Observação útil: \mathcal{S}_1 é a reta gerada por t, tem dimensão 1 e base \{t\}.

Passo 5

Análise de \mathcal{S}_{2}=\{p\in V \mid p \text{ é divisível por }(t-1)\}éí.
  • "Divisível por (t-1)" significa que existe q(t) tal que p(t)=(t-1)q(t). Como \deg p\le 1, o quociente q(t) necessariamente tem grau \le 0, isto é, q(t) é uma constante c\in\mathbb{R}. Assim p(t)=c(t-1)=ct - c.
  • Alternativamente, a condição divisível por (t-1) equivale a p(1)=0. Usando p(t)=a t + b, p(1)=a+b. Assim a+b=0\Rightarrow b=-a, e então p(t)=a(t-1), que é o mesmo que acima.
Verifico as propriedades:
  1. Zero: para a=0 obtemos p(t)=0, logo 0\in\mathcal{S}_2.
  2. Soma: a_1(t-1)+a_2(t-1)=(a_1+a_2)(t-1), pertence a \mathcal{S}_2.
  3. Multiplicação por escalar: \lambda\cdot (a(t-1))=(\lambda a)(t-1), pertence a \mathcal{S}_2.
Conclusão intercalar: \mathcal{S}_2 também satisfaz as três propriedades, portanto é subespaço de V. Observação: \mathcal{S}_2 é a reta gerada por t-1, tem dimensão 1 e base \{t-1\}.

Passo 6

Análise de \mathcal{S}_{3}=\{p\in V \mid p \text{ tem coeficientes racionais}\}.
  • Em termos da representação p(t)=a t + b, a condição é a,b\in\mathbb{Q}.
  • Primeiro verifico propriedades que funcionam:
    1. Zero: o polinômio zero tem coeficientes 0,0\in\mathbb{Q}, então 0\in\mathcal{S}_3.
    2. Soma: se p_1,p_2 têm coeficientes racionais, somando-os os coeficientes somam números racionais (soma de racionais é racional). Logo p_1+p_2\in\mathcal{S}_3.
  • Agora o ponto crítico: multiplicação por escalar. Um subespaço de V deve ser fechado por multiplicação por todo \lambda\in\mathbb{R}. Mostro que \mathcal{S}_3 falha nessa propriedade com um contraexemplo simples:
    • Tome p(t)=1, que é 0\cdot t + 1 com coeficientes racionais, logo p\in\mathcal{S}_3.
    • Tome \lambda=\sqrt{2}\in\mathbb{R}. Então \lambda p(t)=\sqrt{2}\cdot 1 = \sqrt{2},que é o polinômio constante com coeficiente \sqrt{2}, que não é racional. Portanto \lambda p\notin\mathcal{S}_3.
    • Assim \mathcal{S}_3 não é fechado por multiplicação por escalares reais.
Conclusão intercalar: \mathcal{S}_3 não satisfaz todas as condições (falha na multiplicação por escalar), logo não é subespaço de V.
Observação didática extra (útil para a prova): \mathcal{S}_3 é um subespaço se o campo de escalares fosse \mathbb{Q} (isto é, se estivéssemos vendo V como espaço vetorial sobre \mathbb{Q}), mas não é subespaço quando o campo de escalares é \mathbb{R}. Essa distinção entre o campo de escalares é importante.

Resposta

\mathcal{S}_1 é subespaço vetorial.
\mathcal{S}_2 é subespaço vetorial.
\mathcal{S}_3 não é subespaço vetorial.

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