Verifique, em cada caso, se os conjuntos dados são subespaços vetoriais:
, espaço de todos os polinômios reais de grau
, com as operações usuais e
tem zero como raiz
é divisível por
tem coeficientes racionais
.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
, que é o conjunto de todos os polinômios reais de grau
, com as operações usuais (adição de polinômios e multiplicação por escalar real). Pede para verificar, em cada caso, se o conjunto é subespaço vetorial:
-
. -
. -
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado que vou usar (pego diretamente do enunciado):
-
é formado por polinômios reais de grau no máximo . - As condições que definem
estão explícitas acima. - A base do que é um subespaço: testar inclusão do vetor zero, fechamento por soma e fechamento por multiplicação por escalares (vou explicar isso em detalhe no próximo passo).
Passo 2
Representação geral de um polinômio em
. Qualquer
pode ser escrito como
onde
. Aqui
é o coeficiente de
e
é o termo constante. O polinômio zero é o caso
, i.e.
.
Explicando as operações (para lembrar): se
e
, então
e para
,
Passo 3
Critério prático para verificar subespaço (explicação didática): um subconjunto
é subespaço vetorial de
se e somente se
-
(contém o polinômio zero), - para quaisquer
, tem-se (fechamento por adição), - para qualquer
e qualquer , tem-se (fechamento por multiplicação por escalar).
Por que esses três? Porque fechar sobre soma e multiplicação por escalar garante que quaisquer combinações lineares de elementos de
ficam em
; e conter o zero garante um ponto de partida (o zero é sempre combinação linear trivial). Esses são os testes que vou aplicar em cada
.
Passo 4
Análise de
.
- Traduzindo a condição: “ter zero como raiz” significa
. - Para um
, calcular dá . Então implica . - Logo os elementos de
são exatamente os polinômios da forma
Agora verifico as três propriedades do passo anterior:
- Zero: tomando
obtemos , logo . - Soma: se
e então que também é da forma ; logo . - Multiplicação por escalar: para
, também da forma ; portanto .
Conclusão intercalar:
satisfaz as três propriedades, portanto é subespaço de
. Observação útil:
é a reta gerada por
, tem dimensão
e base
.
Passo 5
Análise de
.
- "Divisível por
" significa que existe tal que . Como , o quociente necessariamente tem grau , isto é, é uma constante . Assim - Alternativamente, a condição divisível por
equivale a . Usando , . Assim , e então , que é o mesmo que acima.
Verifico as propriedades:
- Zero: para
obtemos , logo . - Soma:
, pertence a . - Multiplicação por escalar:
, pertence a .
Conclusão intercalar:
também satisfaz as três propriedades, portanto é subespaço de
. Observação:
é a reta gerada por
, tem dimensão
e base
.
Passo 6
Análise de
.
-
Em termos da representação
, a condição é . -
Primeiro verifico propriedades que funcionam:
- Zero: o polinômio zero tem coeficientes
, então . - Soma: se
têm coeficientes racionais, somando-os os coeficientes somam números racionais (soma de racionais é racional). Logo .
- Zero: o polinômio zero tem coeficientes
-
Agora o ponto crítico: multiplicação por escalar. Um subespaço de
deve ser fechado por multiplicação por todo . Mostro que falha nessa propriedade com um contraexemplo simples: - Tome
, que é com coeficientes racionais, logo . - Tome
. Então que é o polinômio constante com coeficiente , que não é racional. Portanto . - Assim
não é fechado por multiplicação por escalares reais.
- Tome
Conclusão intercalar:
não satisfaz todas as condições (falha na multiplicação por escalar), logo não é subespaço de
.
Observação didática extra (útil para a prova):
é um subespaço se o campo de escalares fosse
(isto é, se estivéssemos vendo
como espaço vetorial sobre
), mas não é subespaço quando o campo de escalares é
. Essa distinção entre o campo de escalares é importante.