Verifique, em cada caso, se os conjuntos dados são subespaços vetoriais:
V=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), espaço de todos os polinômios reais de grau \leq 2, com as operações usuais e
\mathcal{S}_{1}=\{p \in V \mid \operatorname{grau}(p)=1\} ; \quad \mathcal{S}_{2}=\{p \in V \mid a soma dos coeficientes de p é zero \} ;
\mathcal{S}_{3}=\{p \in V \mid p tem todos os coeficientes iguais \}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathcal{P}_2(\mathbb{R}), ou seja, todos os polinômios reais de grau \le 2, com as operações usuais (adição de polinômios e multiplicação por escalar). São definidos três subconjuntos de V:
  • \mathcal{S}_{1}=\{p\in V \mid \operatorname{grau}(p)=1\}.
  • \mathcal{S}_{2}=\{p\in V \mid \text{a soma dos coeficientes de }p\text{ é zero}\}é.
  • \mathcal{S}_{3}=\{p\in V \mid p \text{ tem todos os coeficientes iguais}\}.
O que se pede: para cada um desses conjuntos, verificar se é subespaço vetorial de V (responder “sim” ou “não” e justificar).
Informações relevantes dadas:
  • Elementos de V são polinômios da forma \;p(x)=ax^{2}+bx+c com a,b,c\in\mathbb{R}.
  • Operações são as usuais: soma coeficiente a coeficiente e multiplicação por escalar atuando em cada coeficiente.

Passo 2

Definição prática e teste que vamos usar (explicado passo a passo):
  • Um subconjunto W\subseteq V é subespaço vetorial se, e somente se:
    1. W não é vazio (em particular geralmente checamos se o polinômio zero \,0\in W,).
    2. W é fechado sob adição: para todo u,v\in W, tem-se u+v\in W.
    3. W é fechado sob multiplicação por escalar: para todo u\in W e todo \lambda\in\mathbb{R}, tem-se \lambda u\in W.
Por que isso funciona (curta aula): um subespaço precisa conter o vetor zero, as somas e os múltiplos escalares de seus elementos; essas três propriedades garantem que todas as combinações lineares ficam dentro de W, o que caracteriza um subespaço.
Também explico a forma geral de um polinômio em V: qualquer p\in V pode ser escrito como
p(x)=ax^{2}+bx+c,
onde a,b,c\in\mathbb{R}. Aqui a é o coeficiente de x^{2}, b de x e c o termo constante.

Passo 3

Vou escrever explicitamente como verificar as três propriedades para conjuntos definidos por condições sobre coeficientes.
  • Polinômio zero: \;0(x)=0x^{2}+0x+0.
  • Soma dos coeficientes de p(x)=ax^{2}+bx+c é a+b+c.
  • Se p(x)=ax^{2}+bx+c e q(x)=a'x^{2}+b'x+c', então p(x)+q(x)=(a+a')x^{2}+(b+b')x+(c+c'),e para \lambda\in\mathbb{R}, (\lambda p)(x)=(\lambda a)x^{2}+(\lambda b)x+(\lambda c).
Esses cálculos mostram que as operações atuam coeficiente a coeficiente, o que facilita verificar as condições dos subconjuntos.

Passo 4

Análise de \mathcal{S}_{1}=\{p\in V\mid \operatorname{grau}(p)=1\}.
  • Primeiro ver se o polinômio zero está em \mathcal{S}_{1}. O polinômio zero tem grau que não é 1 (por convenção \operatorname{grau}(0)=-\infty ou não definido como 1). Logo 0\notin\mathcal{S}_{1}. Já com isso podemos concluir que \mathcal{S}_{1} NÃO é subespaço, porque todo subespaço deve conter o vetor zero.
  • Dou uma justificativa alternativa e um contraexemplo que mostra falha de fechamento: tome p(x)=x\in\mathcal{S}_{1} e q(x)=-x\in\mathcal{S}_{1}. Então
    p(x)+q(x)=x+(-x)=0,
    e 0\notin\mathcal{S}_{1}. Assim \mathcal{S}_{1} não é fechado sob adição.
  • Outro ponto: fechamento sob multiplicação por escalar falha também porque para p(x)=x\in\mathcal{S}_{1} e \lambda=0, tem \lambda p=0\notin\mathcal{S}_{1}.
Conclusão passo a passo: falta do polinômio zero e falhas de fechamento implicam que \mathcal{S}_{1} NÃO é subespaço.

Passo 5

Análise de \mathcal{S}_{2}=\{p\in V \mid \text{a soma dos coeficientes de }p \text{ é zero}\}é.
  • Escrever generalidade: se p(x)=ax^{2}+bx+c, a condição é a+b+c=0.
  • Verificar se o polinômio zero está em \mathcal{S}_{2}: para 0(x)=0x^{2}+0x+0 a soma dos coeficientes é 0+0+0=0. Logo 0\in\mathcal{S}_{2}.
  • Fechamento sob adição: sejam p(x)=ax^{2}+bx+c e q(x)=a'x^{2}+b'x+c' com a+b+c=0 e a'+b'+c'=0. A soma tem coeficientes (a+a')+(b+b')+(c+c')=(a+b+c)+(a'+b'+c')=0+0=0. Portanto p+q\in\mathcal{S}_{2}.
  • Fechamento sob multiplicação por escalar: para \lambda\in\mathbb{R},
    \text{soma dos coeficientes de }\lambda p = \lambda a+\lambda b+\lambda c = \lambda(a+b+c)=\lambda\cdot 0=0.
    Assim \lambda p\in\mathcal{S}_{2}.
  • Interpretação útil (pequena aula): \mathcal{S}_{2} é o núcleo da aplicação linear L:V\to\mathbb{R} dada por L(p)= soma dos coeficientes de p. O núcleo de uma aplicação linear é sempre um subespaço. Isso dá uma visão alternativa e elegante.
Conclusão: \mathcal{S}_{2} satisfaz as três propriedades, logo É um subespaço vetorial de V.

Passo 6

Análise de \mathcal{S}_{3}=\{p\in V \mid p \text{ tem todos os coeficientes iguais}\}.
  • Escrever a forma de um polinômio de \mathcal{S}_{3}: se todos os coeficientes são iguais a um mesmo número \alpha\in\mathbb{R}, então
    p(x)=\alpha x^{2}+\alpha x+\alpha=\alpha(x^{2}+x+1).
    Portanto cada elemento de \mathcal{S}_{3} é um múltiplo escalar do polinômio fixo r(x)=x^{2}+x+1.
  • Verificar o polinômio zero: escolhendo \alpha=0 obtém-se 0\in\mathcal{S}_{3}. Logo não vazio e contém o zero.
  • Fechamento sob adição: se p=\alpha r e q=\beta r com \alpha,\beta\in\mathbb{R}, então
    p+q=(\alpha+\beta)r,
    que também tem todos os coeficientes iguais (coeficiente comum \alpha+\beta). Logo p+q\in\mathcal{S}_{3}.
  • Fechamento sob multiplicação por escalar: para \lambda\in\mathbb{R},
    \lambda p = \lambda(\alpha r) = (\lambda\alpha) r,
    e novamente todos os coeficientes são iguais a \lambda\alpha. Logo \lambda p\in\mathcal{S}_{3}.
  • Observação estrutural: \mathcal{S}_{3}=\operatorname{span}\{x^{2}+x+1\}, portanto é um subespaço unidimensional de V.
Conclusão: \mathcal{S}_{3} satisfaz as três propriedades, logo É um subespaço vetorial de V.

Passo 7

Resumo das conclusões já justificadas:
  • \mathcal{S}_{1} não é subespaço (falta o polinômio zero e não é fechado).
  • \mathcal{S}_{2} é subespaço (é núcleo de uma forma linear; contém zero e é fechado sob soma e escalares).
  • \mathcal{S}_{3} é subespaço (é o span de x^{2}+x+1; fecha soma e escalares).

Resposta

\mathcal{S}_{1}: não\newline
\mathcal{S}_{2}: sim\newline
\mathcal{S}_{3}: sim

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