Verifique, em cada caso, se os conjuntos dados são subespaços vetoriais:
, espaço de todos os polinômios reais de grau
, com as operações usuais e
a soma dos coeficientes de
é zero
tem todos os coeficientes iguais
.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
, ou seja, todos os polinômios reais de grau
, com as operações usuais (adição de polinômios e multiplicação por escalar). São definidos três subconjuntos de
:
-
. -
. -
.
O que se pede: para cada um desses conjuntos, verificar se é subespaço vetorial de
(responder “sim” ou “não” e justificar).
Informações relevantes dadas:
- Elementos de
são polinômios da forma com . - Operações são as usuais: soma coeficiente a coeficiente e multiplicação por escalar atuando em cada coeficiente.
Passo 2
Definição prática e teste que vamos usar (explicado passo a passo):
- Um subconjunto
é subespaço vetorial se, e somente se: -
não é vazio (em particular geralmente checamos se o polinômio zero ,). -
é fechado sob adição: para todo , tem-se . -
é fechado sob multiplicação por escalar: para todo e todo , tem-se .
-
Por que isso funciona (curta aula): um subespaço precisa conter o vetor zero, as somas e os múltiplos escalares de seus elementos; essas três propriedades garantem que todas as combinações lineares ficam dentro de
, o que caracteriza um subespaço.
Também explico a forma geral de um polinômio em
: qualquer
pode ser escrito como
onde
. Aqui
é o coeficiente de
,
de
e
o termo constante.
Passo 3
Vou escrever explicitamente como verificar as três propriedades para conjuntos definidos por condições sobre coeficientes.
- Polinômio zero:
. - Soma dos coeficientes de
é . - Se
e , então e para ,
Esses cálculos mostram que as operações atuam coeficiente a coeficiente, o que facilita verificar as condições dos subconjuntos.
Passo 4
Análise de
.
-
Primeiro ver se o polinômio zero está em
. O polinômio zero tem grau que não é (por convenção ou não definido como ). Logo . Já com isso podemos concluir que NÃO é subespaço, porque todo subespaço deve conter o vetor zero. -
Dou uma justificativa alternativa e um contraexemplo que mostra falha de fechamento: tome
e . Então e. Assim não é fechado sob adição. -
Outro ponto: fechamento sob multiplicação por escalar falha também porque para
e , tem .
Conclusão passo a passo: falta do polinômio zero e falhas de fechamento implicam que
NÃO é subespaço.
Passo 5
Análise de
.
-
Escrever generalidade: se
, a condição é . -
Verificar se o polinômio zero está em
: para a soma dos coeficientes é . Logo . -
Fechamento sob adição: sejam
e com e . A soma tem coeficientes . Portanto . -
Fechamento sob multiplicação por escalar: para
, Assim. -
Interpretação útil (pequena aula):
é o núcleo da aplicação linear dada por soma dos coeficientes de . O núcleo de uma aplicação linear é sempre um subespaço. Isso dá uma visão alternativa e elegante.
Conclusão:
satisfaz as três propriedades, logo É um subespaço vetorial de
.
Passo 6
Análise de
.
-
Escrever a forma de um polinômio de
: se todos os coeficientes são iguais a um mesmo número , então Portanto cada elemento deé um múltiplo escalar do polinômio fixo . -
Verificar o polinômio zero: escolhendo
obtém-se . Logo não vazio e contém o zero. -
Fechamento sob adição: se
e com , então que também tem todos os coeficientes iguais (coeficiente comum). Logo . -
Fechamento sob multiplicação por escalar: para
, e novamente todos os coeficientes são iguais a. Logo . -
Observação estrutural:
, portanto é um subespaço unidimensional de .
Conclusão:
satisfaz as três propriedades, logo É um subespaço vetorial de
.
Passo 7
Resumo das conclusões já justificadas:
-
não é subespaço (falta o polinômio zero e não é fechado). -
é subespaço (é núcleo de uma forma linear; contém zero e é fechado sob soma e escalares). -
é subespaço (é o span de ; fecha soma e escalares).