Verifique, em cada caso, se os conjuntos dados são subespaços vetoriais: V=M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) com as operações usuais e \mathcal{S}_{1}=\{A \in V \mid A é simétrica \} ; \quad \mathcal{S}_{2}=\{A \in V \mid A é idempotente \} ; \mathcal{S}_{3}=\{A \in V \mid \operatorname{det} A=0\} ; \quad \mathcal{S}_{4}=\{A \in V \mid \operatorname{tr} A=0\} ; \mathcal{S}_{5}=\{A \in V \mid A \cdot T=0\}, sendo T não nula e fixa em V. \mathcal{S}_{6}=\left\{\left.\left[\begin{array}{cc}a & b \\\ c & d\end{array}\right] \in V \right\rvert\, b=a+c, d=c\right\}.
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados.\n
Espaço ambiente: V = M_{2\times2}(\mathbb{R}) com as operações usuais (adição de matrizes e multiplicação por escalares).\n
Conjuntos a testar (cada um é subconjunto de V):
\mathcal{S}_{1}=\{A\in V \mid A\\ \text{é simétrica}\}éé.
\mathcal{S}_{2}=\{A\in V \mid A^2=A\} (matrizes idempotentes).
\mathcal{S}_{3}=\{A\in V \mid \det A=0\}.
\mathcal{S}_{4}=\{A\in V \mid \operatorname{tr} A=0\}.
\mathcal{S}_{5}=\{A\in V \mid A\cdot T=0\}, onde T\in V é fixo e não nulo; aqui \cdot é o produto usual de matrizes.
\mathcal{S}_{6}=\left\{\left.\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}\in V\\ \right\rvert\, b=a+c,\\ d=c\right\}.\n
Pergunta pedida: para cada \mathcal{S}_i decidir se é subespaço vetorial de V (isto é, verificar as propriedades necessárias).
Passo 2
Relembrando o critério prático para subespaço: um subconjunto W\subset V é subespaço vetorial se, e somente se,\n
0\in W (onde 0 é a matriz zero em V);\n
para quaisquer X,Y\in W vale X+Y\in W (fechado sob adição);\n
para qualquer \lambda\in\mathbb{R} e X\in W vale \lambda X\in W (fechado sob multiplicação escalar).\n
Explicação curta do porquê: estas três propriedades garantem que W herdará as operações do espaço V e satisfará todos os axiomas de espaço vetorial. Outra forma útil: se W é o núcleo de uma transformação linear L:V\to U, então W é subespaço.
Passo 3
Definição: A é simétrica quando A^{T}=A.\n
Verificações:\n
Zero: a matriz zero satisfaz 0^{T}=0, logo 0\in\mathcal{S}_1.\n
Soma: se A,B\in\mathcal{S}_1 então A^{T}=A e B^{T}=B. Então
(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}=A+B,
portanto A+B é simétrica, isto é A+B\in\mathcal{S}_1.\n
Multiplicação escalar: para \lambda\in\mathbb{R} e A\in\mathcal{S}_1,
(\lambda A)^{T}=\lambda A^{T}=\lambda A,
logo \lambda A\in\mathcal{S}_1.\n
Conclusão: \mathcal{S}_1 é fechado e contém 0, portanto \mathcal{S}_1 é subespaço vetorial de V.
Passo 4
Definição: A é idempotente se A^{2}=A.\n
Verificação de propriedades:\n
Zero: 0^{2}=0, então 0\in\mathcal{S}_2.\n
Fechamento por escalares? tome uma matriz idempotente não nula, por exemplo
P=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}.
Temos P^{2}=P. Considere \lambda=\tfrac{1}{2}. Então
portanto \tfrac{1}{2}P\notin\mathcal{S}_2.\n
Conclusão: \mathcal{S}_2 não é fechado sob multiplicação escalar, logo \mathcal{S}_2 não é subespaço vetorial.\n
Comentário didático: intuitivamente, a condição A^2=A é não-linear em A (envolve produto de A por A), por isso conjuntos definidos por equações quadráticas normalmente não são subespaços.]
Passo 5
Definição: \mathcal{S}_3 é o conjunto das matrizes singulares, \det A=0.\n
Testando fechamento por adição com um contraexemplo simples: considere
e \det(A+B)=\det I_2=1\neq 0.\n
Conclusão: a soma de duas matrizes de \mathcal{S}_3 pode não pertencer a \mathcal{S}_3, logo \mathcal{S}_3 não é subespaço vetorial.\n
Comentário: a propriedade \det A=0 é não-linear (envolve produto das entradas), por isso o conjunto de matrizes singulares não é fechado por soma em geral.]
Passo 6
Definição: \mathcal{S}_4=\{A\in V\mid \operatorname{tr}A=0\}, onde para A=\begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix} tem-se \operatorname{tr}A=a+d.\n
Propriedades do traço que vamos usar (fatos lineares): para quaisquer A,B\in V e \lambda\in\mathbb{R},
logo \lambda A\in\mathcal{S}_4.\n
Conclusão: \mathcal{S}_4 é subespaço vetorial de V. (Alternativa: \mathcal{S}_4 é o núcleo da forma linear \operatorname{tr}:V\to\mathbb{R}.)]
Passo 7
Definição: fixo T\in V não nulo, considere a transformação linear L:V\to V dada por
L(A)=A T.
Verificação de linearidade: para A,B\in V e \lambda\in\mathbb{R},
Propriedade geral: o núcleo de uma transformação linear é subespaço vetorial.\n
Conclusão: \mathcal{S}_5 é subespaço vetorial de V.\n
Observação adicional: mesmo com T\neq 0, sempre existe pelo menos a solução A=0, e o conjunto de todas as soluções forma um subespaço (possivelmente trivial além do zero, dependendo de T).
Passo 8
Escrevendo uma matriz genérica em V como A=\begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix}, a condição de pertencer a \mathcal{S}_6 é
b=a+c,\qquad d=c.
Podemos parametrizar todas as matrizes de \mathcal{S}_6 por dois parâmetros livres a,c. Substituindo:
Então \mathcal{S}_6=\operatorname{span}\{E_1,E_2\}.\n
A partir desta descrição em combinação linear segue imediatamente que:\n
0=0\cdot E_1+0\cdot E_2\in\mathcal{S}_6;\n
soma de dois elementos de \mathcal{S}_6 corresponde a somar as combinações lineares (fechado sob adição);\n
multiplicação por escalar de um elemento de \mathcal{S}_6 corresponde a multiplicar os coeficientes (fechado sob multiplicação escalar).\n
Conclusão: \mathcal{S}_6 é subespaço vetorial de V (é um subespaço de dimensão 2, gerado por E_1,E_2).]
Passo 9
Resumo e interpretação rápida (tipo de raciocínio a usar em prova):\n
Para conjuntos definidos por condições lineares em entradas (como simetria A^T=A, traço zero, ou equações lineares entre entradas) costuma-se provar subespaço verificando fechamento ou mostrando que é núcleo/gerador por vetores;\n
Para condições não-lineares (como A^2=A ou \det A=0) normalmente encontram-se contraexemplos para soma ou escalares;\n
Quando o conjunto é o núcleo de uma transformação linear (por exemplo A\mapsto AT ou A\mapsto\operatorname{tr}A) está garantido que é subespaço.\n
Agora as respostas finais diretas.