Verifique, em cada caso, se o limite existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} e^{y}\left(\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} e^{y}\left(\frac{\sin x}{x}\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função considerada é f(x,y)=e^{y}\left(\dfrac{\sin x}{x}\right).
  • O ponto de aproximação é (0,0).
  • Observação importante: a expressão \dfrac{\sin x}{x} não está definida no próprio x=0, então estamos investigando o limite quando (x,y) se aproxima de (0,0) por pontos com x\neq 0. Isso é permitido: limite não exige que a função esteja definida no ponto, apenas que os valores próximos ao ponto tendam a um mesmo número.

Passo 2

Mostremos primeiro o comportamento de \dfrac{\sin x}{x} quando x\to 0. Para 0<x<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade clássica
\sin x \le x \le \tan x.
Dividindo essa desigualdade por x e usando \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} obtemos
\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1\qquad\text{para }0<x<\tfrac{\pi}{2}.
Para x<0 a função \dfrac{\sin x}{x} é par, então a mesma desigualdade simétrica vale em módulo; portanto, para x\to 0 temos que \cos x e 1 “engolem” \dfrac{\sin x}{x}. Como
\lim_{x\to 0}\cos x = 1,
pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) concluímos
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1.
Comentário didático rápido: o Teorema do Confronto diz que se g(x)\le f(x)\le h(x) perto de 0 (exceto possivelmente em 0) e \lim g=\lim h=L, então \lim f=L. Aqui g(x)=\cos x, f(x)=\dfrac{\sin x}{x}, h(x)=1 e ambos g,h tendem a 1.

Passo 3

Mostremos o comportamento de e^{y} quando y\to 0. A função exponencial é contínua em todo \mathbb{R}, e portanto
\lim_{y\to 0} e^{y} = e^{0} = 1.
Explicando de forma prática: valores de y próximos de 0 geram e^{y} próximos de 1.

Passo 4

Agora precisamos combinar as duas informações para o limite em duas variáveis. Seja a=e^{y} e b=\dfrac{\sin x}{x}. Queremos ver o comportamento de ab quando (x,y)\to(0,0). Use a desigualdade
|ab-1| = |(a-1)b + (b-1)| \le |a-1|\;|b| + |b-1|.
Sabemos que, para todo x\neq 0,
\left|\frac{\sin x}{x}\right| \le 1,
pois |\sin x|\le |x|. Assim |b|\le 1 e a desigualdade anterior fica
|ab-1| \le |a-1| + |b-1|.
Traduzindo: para (x,y) próximos de (0,0),
\left|e^{y}\frac{\sin x}{x} - 1\right| \le \left|e^{y}-1\right| + \left|\frac{\sin x}{x}-1\right|.
Já mostramos que \lim_{y\to 0} |e^{y}-1| = 0 e \lim_{x\to 0} \left|\dfrac{\sin x}{x}-1\right| = 0. Portanto, ao fazer (x,y)\to(0,0) os dois termos do lado direito tendem a 0, e a soma tende a 0. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)} e^{y}\frac{\sin x}{x} = 1.
Comentário prático: esta é uma prova \varepsilon- \delta implícita — dado \varepsilon>0 escolhemos vizinhanças que tornam cada termo menor que \varepsilon/2, assim a soma fica menor que \varepsilon.

Passo 5

Conclusão final: apesar de a função não estar definida na linha x=0, todos os valores f(x,y)=e^{y}\dfrac{\sin x}{x} com (x,y) próximos de (0,0) (e x\neq 0) tendem ao mesmo número, que é 1. Portanto o limite existe e é 1. Força aí — dá para decorar a ideia: \dfrac{\sin x}{x}\to 1, e^{y}\to 1, produto tende a 1.

Resposta

\;1

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