Verifique, em cada caso, se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou div gente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} 2^{3 n}}{n^{n}}.

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} 2^{3n}}{n^{n}}.
O que é pedido: verificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes (pegas diretamente do enunciado):
  • O termo geral é \displaystyle a_n = \frac{(-1)^{n-1} 2^{3n}}{n^{n}}.
  • O termo em valor absoluto é \displaystyle |a_n| = \frac{2^{3n}}{n^{n}}.

Passo 2

Explicar o que cada conceito significa (para sabermos o que vamos provar):
  • Uma série \displaystyle\sum a_n é absolutamente convergente se a série de termos positivos \displaystyle\sum |a_n| converge.
  • Se \displaystyle\sum a_n converge mas \displaystyle\sum |a_n| diverga, dizemos que a série é condicionalmente convergente.
  • Se \displaystyle\sum a_n diverge, então é divergente (não convergente nem condicionalmente nem absolutamente).
A estratégia natural é primeiro testar a convergência absoluta, ou seja estudar \displaystyle\sum |a_n|=\sum \frac{2^{3n}}{n^{n}}. Se esta convergir, a série original converge absolutamente e estamos feitos.

Passo 3

Apresentar o teste que vamos usar e por quê (aulas rápidas):
  • O teste da raiz (ou teste de Cauchy) diz: para uma série com termos não-negativos \displaystyle\sum b_n, calcule
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{b_n}.
Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.
É um teste muito apropriado quando os termos envolvem potências n-ésimas, como acontece aqui, porque a raiz n-ésima simplifica a expressão.

Passo 4

Aplicar o teste da raiz à série absoluta. Tomamos
b_n = |a_n| = \frac{2^{3n}}{n^{n}}.
Calcular a raiz n-ésima:
\sqrt[n]{b_n}=\sqrt[n]{\frac{2^{3n}}{n^{n}}}=\frac{\sqrt[n]{2^{3n}}}{\sqrt[n]{n^{n}}}=\frac{2^{3}}{n}=\frac{8}{n}.
Aqui usei as propriedades \sqrt[n]{x^{n}}=x quando x>0 e \sqrt[n]{2^{3n}}=(2^{3}).

Passo 5

Calcular o limite do fator obtido:
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{8}{n}=0.
Como L=0<1, o teste da raiz afirma que a série \displaystyle\sum b_n=\sum |a_n| converge.

Passo 6

Concluir sobre a série original e interpretar:
  • Já que \displaystyle\sum |a_n| converge, a série \displaystyle\sum a_n converge absolutamente.
  • Convergência absoluta implica convergência (e exclui a possibilidade de ser apenas condicional).

Resposta

absolutamente convergente.

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