Verifique, em cada caso, se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou div gente:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a série
O que é pedido: verificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes (pegas diretamente do enunciado):
Informações relevantes (pegas diretamente do enunciado):
- O termo geral é
. - O termo em valor absoluto é
Passo 2
Explicar o que cada conceito significa (para sabermos o que vamos provar):
- Uma série
é absolutamente convergente se a série de termos positivos converge. - Se
converge mas diverga, dizemos que a série é condicionalmente convergente. - Se
diverge, então é divergente (não convergente nem condicionalmente nem absolutamente).
A estratégia natural é primeiro testar a convergência absoluta, ou seja estudar
. Se esta convergir, a série original converge absolutamente e estamos feitos.
Passo 3
Apresentar o teste que vamos usar e por quê (aulas rápidas):
- O teste da raiz (ou teste de Cauchy) diz: para uma série com termos não-negativos
, calcule
Se
a série converge absolutamente; se
diverge; se
o teste é inconclusivo.
É um teste muito apropriado quando os termos envolvem potências -ésimas, como acontece aqui, porque a raiz
-ésima simplifica a expressão.
É um teste muito apropriado quando os termos envolvem potências
Passo 4
Aplicar o teste da raiz à série absoluta. Tomamos
Calcular a raiz
-ésima:
Aqui usei as propriedades
quando
e
.
Passo 5
Calcular o limite do fator obtido:
Como
, o teste da raiz afirma que a série
converge.
Passo 6
Concluir sobre a série original e interpretar:
- Já que
converge, a série converge absolutamente. - Convergência absoluta implica convergência (e exclui a possibilidade de ser apenas condicional).
Resposta
absolutamente convergente.