Verifique se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(2 n^{2}+1\right) n \sin \left(\frac{1}{n}\right)}{n^{2}+1}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(2 n^{2}+1\right) n \sin \left(\frac{1}{n}\right)}{n^{2}+1}
converge ou diverge.
Informações dadas:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{(2n^{2}+1)\,n\sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right)}{n^{2}+1}.
  • A pergunta é única: determinar convergência ou divergência da soma infinita dos a_n.

Passo 2

Estratégia que vamos usar (explicada didaticamente):
  • Há um teste simples e obrigatório para qualquer série: se a série \sum a_n converge então necessariamente o termo geral satisfaz
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Esse é o chamado teste do termo geral (ou teste da nulidade do termo). A contrapartida prática é: se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 (ou não existe), então a série diverge imediatamente. Esse teste é necessário, não suficiente: termos tendendo a zero não garantem convergência, mas termos não tendendo a zero garantem divergência.
  • Portanto, primeiro vamos calcular \lim_{n\to\infty} a_n. Se esse limite for diferente de zero, concluímos divergência sem precisar de outros testes.

Passo 3

Cálculo do limite do termo geral. Primeiro escrevo a_n de forma fatorada:
a_n = \frac{2n^{2}+1}{n^{2}+1}\cdot \bigl(n\sin\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)\bigr).
Analisamos os dois fatores separadamente.
  1. Para o primeiro fator,
\frac{2n^{2}+1}{n^{2}+1} = \frac{n^{2}\bigl(2+\tfrac{1}{n^{2}}\bigr)}{n^{2}\bigl(1+\tfrac{1}{n^{2}}\bigr)} = \frac{2+\tfrac{1}{n^{2}}}{1+\tfrac{1}{n^{2}}}.
Como n\to\infty temos \tfrac{1}{n^{2}}\to 0, logo
\lim_{n\to\infty}\frac{2n^{2}+1}{n^{2}+1}= \frac{2+0}{1+0}=2.
  1. Para o segundo fator, use o limite clássico
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Fazendo a substituição x=\tfrac{1}{n} (que tende a 0 quando n\to\infty), obtemos
\lim_{n\to\infty} n\sin\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr) = \lim_{n\to\infty}\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)}{\tfrac{1}{n}} = 1.
(Explicando: \sin(1/n) é aproximadamente 1/n para n grande; mais precisamente o quociente \sin(1/n)/(1/n) tende a 1.)
  1. Como o produto de limites (quando ambos existem) é o limite do produto, concluímos
\lim_{n\to\infty} a_n = \left(\lim_{n\to\infty}\frac{2n^{2}+1}{n^{2}+1}\right)\cdot\left(\lim_{n\to\infty} n\sin\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)\right)=2\cdot 1 = 2.

Passo 4

Interpretação do resultado e conclusão final:
  • Encontramos \lim_{n\to\infty} a_n = 2, ou seja, os termos gerais da série não tendem a zero.
  • Pelo teste do termo geral (descrito no Passo 2), se os termos não vão a zero então a série não pode convergir.
  • Portanto, a série diverge.
(Pequena intuição: somar infinitos termos que ficam aproximadamente iguais a 2 leva a uma soma que cresce sem limite.)

Resposta

A série diverge.

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