Verifique se a série converge ou diverge.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge.
Informações dadas:
- O termo geral da série é
. - A pergunta é única: determinar convergência ou divergência da soma infinita dos
.
Passo 2
Estratégia que vamos usar (explicada didaticamente):
- Há um teste simples e obrigatório para qualquer série: se a série
converge então necessariamente o termo geral satisfaz
Esse é o chamado teste do termo geral (ou teste da nulidade do termo). A contrapartida prática é: se
(ou não existe), então a série diverge imediatamente. Esse teste é necessário, não suficiente: termos tendendo a zero não garantem convergência, mas termos não tendendo a zero garantem divergência.
- Portanto, primeiro vamos calcular
. Se esse limite for diferente de zero, concluímos divergência sem precisar de outros testes.
Passo 3
Cálculo do limite do termo geral. Primeiro escrevo
de forma fatorada:
Analisamos os dois fatores separadamente.
- Para o primeiro fator,
Como
temos
, logo
- Para o segundo fator, use o limite clássico
Fazendo a substituição
(que tende a
quando
), obtemos
(Explicando:
é aproximadamente
para
grande; mais precisamente o quociente
tende a
.)
- Como o produto de limites (quando ambos existem) é o limite do produto, concluímos
Passo 4
Interpretação do resultado e conclusão final:
- Encontramos
, ou seja, os termos gerais da série não tendem a zero. - Pelo teste do termo geral (descrito no Passo 2), se os termos não vão a zero então a série não pode convergir.
- Portanto, a série diverge.
(Pequena intuição: somar infinitos termos que ficam aproximadamente iguais a
leva a uma soma que cresce sem limite.)
Resposta
A série diverge.