Verifique se a série converge ou diverge.
1+\frac{1.3}{2!}+\frac{1.3 .5}{3!}+\cdots+\frac{1.3 .5 \cdots(2 n-1)}{n!}+\cdots.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
1+\frac{1\cdot3}{2!}+\frac{1\cdot3\cdot5}{3!}+\cdots+\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{n!}+\cdots
converge ou diverge.
Vou chamar o termo geral (a partir de n=1) de
a_n=\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{n!}.
As informações relevantes que temos são exatamente os fatores do numerador (produtos dos números ímpares até 2n-1) e o denominador n!. A tarefa é decidir se a soma \sum_{n=1}^{\infty} a_n (mais o termo inicial 1 que corresponde a n=1) converge.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever o produto do numerador de uma forma mais manejável. Note que
(2n)!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdots(2n-1)\cdot(2n).
Agrupando fatores pares e ímpares temos
(2n)!=(1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1))\cdot(2\cdot4\cdot6\cdots(2n)).
Mas o produto dos pares pode ser escrito como
2\cdot4\cdot6\cdots(2n)=2^n\cdot(1\cdot2\cdot3\cdots n)=2^n n!.
Substituindo na expressão de (2n)! obtemos a identidade útil
1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)=\frac{(2n)!}{2^n n!}.
Substituindo isso em a_n segue
a_n=\frac{(2n)!}{2^n n!\,n!}=\frac{(2n)!}{2^n (n!)^2}.
Reconhecemos a combinação binomial, pois \binom{2n}{n}=\dfrac{(2n)!}{(n!)^2}. Assim
a_n=\binom{2n}{n}\,2^{-n}.

Passo 3

Agora explico um teste prático que vou usar: o teste da razão (ratio test). Para uma série de termos não-negativos \sum a_n, calcula-se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
Se L<1 então a série converge; se L>1 então a série diverge; se L=1 o teste é inconclusivo. Aqui todos os a_n são positivos, então o teste da razão é aplicável. A ideia intuitiva: se os termos se multiplicam por um fator maior que 1 para índices grandes, os termos não tendem a zero e a soma não pode convergir.

Passo 4

Calculemos a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n} usando a forma com binomial:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\binom{2(n+1)}{n+1}2^{-(n+1)}}{\binom{2n}{n}2^{-n}} =\frac{1}{2}\cdot\frac{\binom{2n+2}{n+1}}{\binom{2n}{n}}.
Agora simplificamos a razão de binomiais. Usando a definição \binom{m}{k}=\dfrac{m!}{k!(m-k)!} obtemos
\frac{\binom{2n+2}{n+1}}{\binom{2n}{n}} =\frac{(2n+2)!/( (n+1)!(n+1)!) }{(2n)!/(n!n!)} =\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}.
Portanto
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{2}\cdot\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}.
Simplificando um pouco:
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2n+1}{\,n+1\,}=2-\frac{1}{n+1}.

Passo 5

Tiramos o limite da razão quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim_{n\to\infty}\left(2-\frac{1}{n+1}\right)=2.
Como o limite L=2>1, o teste da razão diz que a série diverge. Intuitivamente, para n grande cada termo é aproximadamente o dobro do anterior, então os termos não vão para zero e a soma não pode ser finita.

Passo 6

Complemento simples (checagem pelo termo geral): se uma série \sum a_n converge então necessariamente a_n\to0. Aqui, visto que \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\to2>1, os a_n crescem exponencialmente (não tendem a zero), o que também já é suficiente para concluir que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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