Verifique se a série converge ou diverge.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge.
Vou chamar o termo geral (a partir de ) de
Vou chamar o termo geral (a partir de
As informações relevantes que temos são exatamente os fatores do numerador (produtos dos números ímpares até
) e o denominador
. A tarefa é decidir se a soma
(mais o termo inicial
que corresponde a
) converge.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever o produto do numerador de uma forma mais manejável. Note que
Agrupando fatores pares e ímpares temos
Mas o produto dos pares pode ser escrito como
Substituindo na expressão de
obtemos a identidade útil
Substituindo isso em
segue
Reconhecemos a combinação binomial, pois
. Assim
Passo 3
Agora explico um teste prático que vou usar: o teste da razão (ratio test). Para uma série de termos não-negativos
, calcula-se
Se
então a série converge; se
então a série diverge; se
o teste é inconclusivo. Aqui todos os
são positivos, então o teste da razão é aplicável. A ideia intuitiva: se os termos se multiplicam por um fator maior que
para índices grandes, os termos não tendem a zero e a soma não pode convergir.
Passo 4
Calculemos a razão
usando a forma com binomial:
Agora simplificamos a razão de binomiais. Usando a definição
obtemos
Portanto
Simplificando um pouco:
Passo 5
Tiramos o limite da razão quando
:
Como o limite
, o teste da razão diz que a série diverge. Intuitivamente, para
grande cada termo é aproximadamente o dobro do anterior, então os termos não vão para zero e a soma não pode ser finita.
Passo 6
Complemento simples (checagem pelo termo geral): se uma série
converge então necessariamente
. Aqui, visto que
, os
crescem exponencialmente (não tendem a zero), o que também já é suficiente para concluir que a série diverge.
Resposta
A série diverge.