Verifique em cada caso se W é um subespaço de V.
V=M_{2 \times 2}(\mathbb{R}), W=\left\{\left[\begin{array}{ll}0 & a \\\ b & 0\end{array}\right] ; a, b \in \mathbb{R}\right\}

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial V = M_{2\times2}(\mathbb{R}) de todas as matrizes reais 2\times2 e a parte W = \bigl\{\begin{pmatrix}0 & a\\\ b & 0\end{pmatrix}\mid a,b\in\mathbb{R}\bigr\}. Para verificar se W é subespaço de V, precisamos checar três propriedades: (i) o vetor zero de V pertence a W, (ii) W é fechado sob soma e (iii) W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos o vetor zero de V, que é a matriz nula
0_{2\times2} = \begin{pmatrix}0 & 0\\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Como nessa matriz temos a=0 e b=0, ela pertence a W. Logo, a propriedade (i) está satisfeita.

Passo 3

Sejam
X = \begin{pmatrix}0 & a_1\\\ b_1 & 0\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad Y = \begin{pmatrix}0 & a_2\\\ b_2 & 0\end{pmatrix}
do conjunto W. A soma é
X + Y = \begin{pmatrix}0 & a_1\\\ b_1 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & a_2\\\ b_2 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & a_1 + a_2\\\ b_1 + b_2 & 0\end{pmatrix}.
Como a_1+a_2 e b_1+b_2 são reais, X+Y mantém a forma exigida e pertence a W. Assim, W é fechado sob soma.

Passo 4

Para um escalar \lambda\in\mathbb{R} e uma matriz
X = \begin{pmatrix}0 & a\\\ b & 0\end{pmatrix}\in W,
temos
\lambda X = \lambda\begin{pmatrix}0 & a\\\ b & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \lambda a\\\ \lambda b & 0\end{pmatrix}.
Como \lambda a e \lambda b são números reais, \lambda X ainda está em W. Logo, W é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

Sim, W é subespaço de V.

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