Verifique em cada caso se W é um subespaço de V.
V=M_{n \times n}(\mathbb{R}), W=\{A \in V ; \operatorname{det}(A)=0\}

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial
V = M_{n\times n}(\mathbb{R})
e o subconjunto
W = \{A\in V \mid \det(A)=0\}.
Para verificar se W é subespaço de V, precisamos checar três propriedades:
  1. presença do vetor zero;
  2. fechamento por multiplicação escalar;
  3. fechamento por soma.

Passo 2

Verificamos se a matriz zero 0 pertence a W. Como
\det(0)=0,
temos 0\in W. Logo, a primeira condição está satisfeita.

Passo 3

Checamos fechamento por escalar. Seja A\in W e k\in\mathbb{R}. Como \det(A)=0,
\det(kA)=k^n\det(A)=k^n\cdot 0=0,
então kA\in W. A segunda condição também vale.

Passo 4

Agora, fechamento por soma. Precisamos ver se A,B\in W implica A+B\in W. Considere por exemplo, em n=2,
A=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Ambas têm determinante zero, mas
A+B = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}
tem \det(A+B)=1\neq 0. Logo A+B\notin W, e W falha no fechamento por soma.

Resposta

W não é subespaço de V.

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