Verifique em cada caso se W é um subespaço de V.
V=\mathbb{R}^{3}, W=\{(x, y,|x|), x, y \in \mathbb{R}\}

Passo 1

O enunciado dá V=\mathbb{R}^3 e
W = \{(x,y,|x|)\mid x,y\in\mathbb{R}\}.
Para ser subespaço, W deve conter o vetor zero, ser fechado sob soma e sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo \mathbf{0}=(0,0,0) está em W. Como para x=0 e y=0 temos |x|=|0|=0, resulta
(0,0,|0|) = (0,0,0)\in W.
Logo, \mathbf{0}\in W.

Passo 3

Testamos o fecho sob adição com um contraexemplo. Tomemos
u = (1,0,|1|) = (1,0,1)\in W, \quad v = (-1,0,|-1|) = (-1,0,1)\in W.
Então
u+v = (1,0,1)+(-1,0,1) = (0,0,2).
Para que (0,0,2) estivesse em W, precisaríamos de |0|=2, o que é falso. Portanto u+v\notin W e W não é fechado sob soma.

Resposta

W não é subespaço de V.

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