Seja V o espaço vetorial (real) de todas as funções de \mathbb{R} em \mathbb{R}. Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de V ?
W=\{f \in V ; f(3)=1+f(-5)\}

Passo 1

O enunciado define V como o espaço vetorial real de todas as funções de \mathbb{R} em \mathbb{R} e o subconjunto
W = \{\,f\in V \mid f(3) = 1 + f(-5)\}.
Para ser subespaço de V, W precisa satisfazer três condições:
  1. Conter a função nula.
  2. Ser fechado sob soma.
  3. Ser fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos a função nula \,f_0(x)=0. Temos
f_0(3)=0 \quad\text{e}\quad f_0(-5)=0,
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f_0(3)=0 \neq 1+0 = 1,
ou seja, f_0 não pertence a W.

Resposta

W não é subespaço de V.

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