Verifique, em cada caso, se a transformação T é linear:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(x+y, x, 0).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear (ou não) T definida por
T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},\qquad T(x,y,z)=(x+y,\;x,\;0).
O que precisamos verificar é se T é linear, ou seja, se T satisfaz as propriedades que caracterizam uma aplicação linear (essas propriedades serão enunciadas no próximo passo). Informações relevantes fornecidas:
\text{domínio: }\mathbb{R}^{3},\qquad \text{contradomínio: }\mathbb{R}^{3},íí
e a fórmula que dá as coordenadas da imagem de um vetor (x,y,z) é T(x,y,z)=(x+y,\;x,\;0).

Passo 2

Definição de linearidade (explicadinha): uma transformação T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^{3} e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem simultaneamente as propriedades
\text{(aditividade)}\quad T(u+v)=T(u)+T(v),
\text{(homogeneidade)}\quad T(c\,u)=c\,T(u).
Aqui u e v são vetores arbitrários da mesma dimensão de T, e c é qualquer número real. Se as duas propriedades forem verdadeiras para todos u,v,c, então T é linear. Vou verificar essas duas propriedades diretamente com a fórmula de T.

Passo 3

Considere vetores genéricos
u=(x_1,y_1,z_1),\qquad v=(x_2,y_2,z_2),
com x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2\in\mathbb{R}. Primeiro calcule u+v:
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Agora aplique T a u+v usando a definição T(x,y,z)=(x+y,\;x,\;0):
T(u+v)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2)=(\,(x_1+x_2)+(y_1+y_2),\;x_1+x_2,\;0\,).
Simplificando as somas dentro dos parênteses:
T(u+v)=(\,x_1+y_1+x_2+y_2,\;x_1+x_2,\;0\,).

Passo 4

Agora calcule T(u) e T(v) separadamente e some:
T(u)=T(x_1,y_1,z_1)=(\,x_1+y_1,\;x_1,\;0\,),
T(v)=T(x_2,y_2,z_2)=(\,x_2+y_2,\;x_2,\;0\,).
Somando componente a componente:
T(u)+T(v)=(\,x_1+y_1+x_2+y_2,\;x_1+x_2,\;0+0\,)=(\,x_1+y_1+x_2+y_2,\;x_1+x_2,\;0\,).
Comparando com o resultado do passo anterior, vemos que
T(u+v)=T(u)+T(v).
Portanto, a propriedade de aditividade está verificada para quaisquer vetores u,v.

Passo 5

Agora verificamos a homogeneidade. Tome um escalar arbitrário c\in\mathbb{R} e um vetor genérico u=(x_1,y_1,z_1). Primeiro calcule c\,u:
c\,u=(c x_1,\;c y_1,\;c z_1).
Aplique T a c\,u:
T(c\,u)=T(c x_1,\;c y_1,\;c z_1)=(\,c x_1 + c y_1,\;c x_1,\;0\,).
Fatorando c nas duas primeiras componentes obtemos
T(c\,u)=(\,c(x_1+y_1),\;c x_1,\;0\,).
Agora calcule c\,T(u):
T(u)=(\,x_1+y_1,\;x_1,\;0\,)\quad\Rightarrow\quad c\,T(u)=(\,c(x_1+y_1),\;c x_1,\;c\cdot 0\,)=(\,c(x_1+y_1),\;c x_1,\;0\,).
Logo
T(c\,u)=c\,T(u)
para todo escalar c e todo vetor u. A homogeneidade está verificada.

Passo 6

Comentário extra (ajuda para prova): outra maneira curta de ver que T é linear é escrever T como multiplicação por uma matriz em relação à base canônica. Para (x,y,z) temos
T(x,y,z)=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\[4pt]1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\end{pmatrix}.
Qualquer transformação dada por multiplicação por uma matriz é linear. Isso confirma o que já provamos diretamente.]

Passo 7

Conclusão final: T satisfaz aditividade e homogeneidade, logo T é uma transformação linear.

Resposta

\,T\\ \text{é linear.}é

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