O que precisamos verificar é se T é linear, ou seja, se T satisfaz as propriedades que caracterizam uma aplicação linear (essas propriedades serão enunciadas no próximo passo). Informações relevantes fornecidas:
e a fórmula que dá as coordenadas da imagem de um vetor (x,y,z) é T(x,y,z)=(x+y,\;x,\;0).
Passo 2
Definição de linearidade (explicadinha): uma transformação T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^{3} e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem simultaneamente as propriedades
\text{(aditividade)}\quad T(u+v)=T(u)+T(v),
\text{(homogeneidade)}\quad T(c\,u)=c\,T(u).
Aqui u e v são vetores arbitrários da mesma dimensão de T, e c é qualquer número real. Se as duas propriedades forem verdadeiras para todos u,v,c, então T é linear. Vou verificar essas duas propriedades diretamente com a fórmula de T.
Passo 3
Considere vetores genéricos
u=(x_1,y_1,z_1),\qquad v=(x_2,y_2,z_2),
com x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2\in\mathbb{R}. Primeiro calcule u+v:
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Agora aplique T a u+v usando a definição T(x,y,z)=(x+y,\;x,\;0):
para todo escalar c e todo vetor u. A homogeneidade está verificada.
Passo 6
Comentário extra (ajuda para prova): outra maneira curta de ver que T é linear é escrever T como multiplicação por uma matriz em relação à base canônica. Para (x,y,z) temos