Se
e uma matriz
, demonstre que
e
são simétricas.
Passo 1
O enunciado nos dá que
é uma matriz
. A tarefa é demonstrar que as matrizes
e
são simétricas.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
O que é pedido:
- Mostrar que
é simétrica. - Mostrar que
é simétrica.
Passo 2
Vamos lembrar a definição de matriz simétrica e algumas propriedades fundamentais da transposição (essas são ferramentas que usaremos como regra de cálculo).
Definição: uma matriz é simétrica quando
Definição: uma matriz
Propriedades da transposição que usaremos (vale sempre para matrizes compatíveis):
- Para qualquer matriz
,
- Para produto de matrizes
e compatíveis,
Vou usar essas propriedades explicitamente nas contas a seguir. Se quiser, depois eu mostro também uma prova pelo ponto de vista das entradas (índices).
Passo 3
Mostrando que
é simétrica usando propriedades de transposição. Calculo a transposta de
e vejo se volta a ser ela mesma:
onde usei a propriedade
com
e
. Agora aplico a propriedade
à primeira parte:
Como a transposta de
é igual a
própria, isso mostra que
é simétrica, por definição.
Passo 4
Mostrando que
é simétrica pela mesma ideia. Calculo a transposta de
:
Melhor reescrever com a regra do produto: aplicando
com
e
(ou seja, trocando papéis),
Vamos aplicar corretamente: tome
e
, então
Refazendo direto com a propriedade: para
e
,
Melhor: aplique
com
e
:
Agora uso
, então
Ops — percebi que isso deu
, que é diferente do objetivo; vamos aplicar a propriedade na ordem correta: para
e
(como no passo anterior), compute
com
,
: então
Note que esse cálculo mostrou novamente algo que parece trocar as posições — para evitar confusão, refeito de forma direta e correta: aplicar
a
e
dá
Mas usando
duas vezes, obtemos
(Resumo: a aplicação correta das propriedades leva a
.)
Observação: reconheço que os passos acima ficaram verbosos para evitar erro de ordem; a ideia simples é usar
com
e
e em seguida
, resultando em
. Logo
é simétrica.
Passo 5
Para fixar bem a intuição, faço também a prova por componentes (entradas), que é muito direta e às vezes mais segura para quem está começando com matrizes.
Seja
. Então a entrada
de
é
Mas
, logo
Troque
por
e
por
na expressão acima para obter a entrada
:
Como a soma de produtos é comutativa termo a termo,
. Logo
para todo
. Isso é exatamente a condição
, então
é simétrica.
Agora para
: a entrada
de
é
Troque
e
:
Portanto
para todo
, mostrando que
é simétrica.
Passo 6
Resumo da lógica: tanto pela propriedade das transpostas aplicadas ao produto quanto pela verificação direta das entradas, temos que
logo ambas as matrizes são simétricas.