Verifique em cada item a seguir se
é um subespaço vetorial de
.
f)
.
f)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um subespaço vetorial de
.
Informações dadas:
Informações dadas:
Pressuposição natural:
.
Pergunta explícita: a parte é um subespaço de
(ou seja, de
)?
Pergunta explícita: a parte
Passo 2
Lembrete das condições que definem um subespaço vetorial (vou explicar passo a passo): um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se as três propriedades seguintes valem:
-
é não vazio (equivalente a verificar que o vetor zero de pertence a ); -
é fechado sob adição: se e então ; -
é fechado sob multiplicação por escalares: se e então .
Explicação didática das propriedades:
- A condição 1 garante que existe pelo menos um vetor (tipicamente verificamos o vetor nulo).
- A condição 2 significa que somar dois vetores que satisfazem a restrição do conjunto também deve produzir um vetor que satisfaz a mesma restrição.
- A condição 3 significa que multiplicar um vetor que satisfaz a restrição por qualquer número real não pode tirar o vetor da coleção.
Basta que uma dessas propriedades falhe para concluir quenão é subespaço.
Passo 3
Verifico a propriedade 1 (vetor zero): o vetor zero em
é
. Substituindo em
temos
, que é verdadeiro. Logo
Portanto
é não vazio e contém o vetor zero.
Passo 4
Agora vou testar a propriedade 3 (fechamento por multiplicação por escalares), porque geralmente é o ponto onde conjuntos definidos por condições não lineares falham. Seja um vetor qualquer de
escrito como
. Pela definição de
temos
. Considere um escalar
. Então
Para que
pertença a
, sua segunda coordenada deve ser igual ao quadrado da primeira coordenada, ou seja deve ocorrer
Calculando o lado direito temos
. Assim a condição fica
Isso implica
Portanto, para uma dada combinação
e
, a igualdade só vale se pelo menos uma das seguintes situações ocorrer:
,
ou
. Em particular, para muitos pares
esta condição não é satisfeita. Isso já indica que, em geral,
não é fechado por multiplicação por escalares.
Passo 5
Construo um contraexemplo concreto e simples (isso é suficiente para concluir que
não é subespaço). Tome o vetor
Verifico que
porque
. Agora escolho o escalar
. Então
Para
pertencer a
teria que valer
, ou seja
, o que é falso. Logo
Isso mostra que
não é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 6
Como a condição de fechamento por escalares falha (encontrei um vetor em
e um escalar cujo produto não está em
), concluímos que
não é subespaço vetorial de
. (Comentário intuitivo: a condição
é não linear — descreve uma parábola estendida ao longo do eixo
— então somas e multiplicações por escalares em geral não preservam essa forma quadrática.)
Resposta
Não. Contraexemplo:
e
.