Verifique em cada item a seguir se W é um subespaço vetorial de V.
f) W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; y=x^{2}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se W é um subespaço vetorial de V.
Informações dadas:
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y=x^2\}.
Pressuposição natural: V=\mathbb{R}^3.
Pergunta explícita: a parte W é um subespaço de V (ou seja, de \mathbb{R}^3)?

Passo 2

Lembrete das condições que definem um subespaço vetorial (vou explicar passo a passo): um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se as três propriedades seguintes valem:
  1. W é não vazio (equivalente a verificar que o vetor zero de V pertence a W);
  2. W é fechado sob adição: se u\in W e v\in W então u+v\in W;
  3. W é fechado sob multiplicação por escalares: se u\in W e c\in\mathbb{R} então c\,u\in W.
Explicação didática das propriedades:
  • A condição 1 garante que existe pelo menos um vetor (tipicamente verificamos o vetor nulo).
  • A condição 2 significa que somar dois vetores que satisfazem a restrição do conjunto também deve produzir um vetor que satisfaz a mesma restrição.
  • A condição 3 significa que multiplicar um vetor que satisfaz a restrição por qualquer número real não pode tirar o vetor da coleção.
    Basta que uma dessas propriedades falhe para concluir que W não é subespaço.

Passo 3

Verifico a propriedade 1 (vetor zero): o vetor zero em \mathbb{R}^3 é (0,0,0). Substituindo em \;y=x^2\; temos 0 = 0^2, que é verdadeiro. Logo
(0,0,0)\in W.
Portanto W é não vazio e contém o vetor zero.

Passo 4

Agora vou testar a propriedade 3 (fechamento por multiplicação por escalares), porque geralmente é o ponto onde conjuntos definidos por condições não lineares falham. Seja um vetor qualquer de W escrito como v=(x,y,z). Pela definição de W temos y=x^2. Considere um escalar c\in\mathbb{R}. Então
c\,v = (c x,\; c y,\; c z) = (c x,\; c x^2,\; c z).
Para que c\,v pertença a W, sua segunda coordenada deve ser igual ao quadrado da primeira coordenada, ou seja deve ocorrer
c x^2 = (c x)^2.
Calculando o lado direito temos (c x)^2 = c^2 x^2. Assim a condição fica
c x^2 = c^2 x^2.
Isso implica
x^2(c - c^2)=0.
Portanto, para uma dada combinação x e c, a igualdade só vale se pelo menos uma das seguintes situações ocorrer: x=0, c=0 ou c=1. Em particular, para muitos pares (x,c) esta condição não é satisfeita. Isso já indica que, em geral, W não é fechado por multiplicação por escalares.

Passo 5

Construo um contraexemplo concreto e simples (isso é suficiente para concluir que W não é subespaço). Tome o vetor
v=(1,1,0).
Verifico que v\in W porque 1 = 1^2. Agora escolho o escalar c=-1. Então
c\,v = -1\cdot(1,1,0)=(-1,-1,0).
Para (-1,-1,0) pertencer a W teria que valer -1 = (-1)^2, ou seja -1 = 1, o que é falso. Logo
-1\cdot(1,1,0)\notin W.
Isso mostra que W não é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 6

Como a condição de fechamento por escalares falha (encontrei um vetor em W e um escalar cujo produto não está em W), concluímos que W não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. (Comentário intuitivo: a condição y=x^2 é não linear — descreve uma parábola estendida ao longo do eixo z — então somas e multiplicações por escalares em geral não preservam essa forma quadrática.)

Resposta

Não. Contraexemplo: (1,1,0)\in W e -1\cdot(1,1,0)=(-1,-1,0)\notin W.

Exercícios relacionados