Verifique se o conjunto dado com as operações especificadas de soma e multiplicação por escalar é um espaço vetorial complexo.
V=\mathbb{R}^{n}, com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se V = \mathbb{R}^n, com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{C}.
Para ser espaço vetorial sobre \mathbb{C}, entre outros axiomas, é preciso que para todo escalar \lambda \in \mathbb{C} e todo vetor v \in V tenhamos \lambda v \in V (fechamento sob multiplicação por escalares).

Passo 2

Vamos testar o fechamento sob multiplicação por escalares complexos.
Escolha \lambda = i\in\mathbb{C} e
v = (1,0,\dots,0)\in\mathbb{R}^n.
Então
\lambda v = i\,(1,0,\dots,0) = (i,0,\dots,0).
Mas (i,0,\dots,0) não pertence a \mathbb{R}^n, pois tem componente imaginária.

Passo 3

Como falha a propriedade de fechamento \lambda v\notin V para \lambda=i e v\in V, um dos axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb{C} não é satisfeito.

Resposta

Não, \mathbb{R}^n com as operações usuais não é um espaço vetorial sobre \mathbb{C}.

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