Verifique se o conjunto dado com as operações especificadas de soma e multiplicação por escalar é um espaço vetorial complexo.
, com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
, com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial sobre o corpo
.
Para ser espaço vetorial sobre , entre outros axiomas, é preciso que para todo escalar
e todo vetor
tenhamos
(fechamento sob multiplicação por escalares).
Para ser espaço vetorial sobre
Passo 2
Vamos testar o fechamento sob multiplicação por escalares complexos.
Escolha e
Escolha
Então
Mas
não pertence a
, pois tem componente imaginária.
Passo 3
Como falha a propriedade de fechamento
para
e
, um dos axiomas de espaço vetorial sobre
não é satisfeito.
Resposta
Não,
com as operações usuais não é um espaço vetorial sobre
.